Modelado de funciones polinómicas y racionales

Estos modelos son populares por las siguientes razones.

1. Los modelos polinómicos tienen una forma sencilla.
2. Los modelos polinómicos poseen propiedades bien conocidas y comprendidas.
3. Los modelos polinómicos tienen una flexibilidad moderada en sus formas.
4. Los modelos polinomiales constituyen una familia cerrada. Los cambios de ubicación y escala en los datos originales dan como resultado que un modelo polinomial se transforme en otro modelo polinomial. Es decir, los modelos polinomiales no dependen de la métrica subyacente .
5. Los modelos polinómicos son fáciles de usar desde el punto de vista computacional.

Sin embargo, los modelos polinomiales también presentan las siguientes limitaciones.

1. Los modelos polinómicos tienen propiedades de interpolación deficientes . Los polinomios de alto grado son conocidos por sus oscilaciones entre los valores de ajuste exacto .
2. Los modelos polinómicos tienen propiedades de extrapolación deficientes . Si bien los polinomios pueden ajustarse bien dentro del rango de datos, con frecuencia se deterioran rápidamente fuera de dicho rango.
3. Los modelos polinómicos presentan propiedades asintóticas deficientes . Por su naturaleza, los polinomios tienen una respuesta finita para valores finitos de x y una respuesta infinita si y solo si el valor de x es infinito. Por lo tanto, es posible que los polinomios no modelen adecuadamente los fenómenos asintóticos.
4. Si bien ningún procedimiento es inmune a la disyuntiva entre sesgo y varianza , los modelos polinómicos presentan una relación particularmente desfavorable entre forma y grado. Para modelar datos con una estructura compleja, el grado del modelo debe ser alto, lo que implica que el número de parámetros a estimar también será elevado. Esto puede dar lugar a modelos altamente inestables.

Cuando el modelado mediante funciones polinómicas resulta inadecuado debido a cualquiera de las limitaciones anteriores, el uso de funciones racionales para el modelado puede ofrecer un mejor ajuste.

Los modelos de funciones racionales presentan las siguientes ventajas:

1. Los modelos de funciones racionales tienen una forma relativamente sencilla.
2. Los modelos de funciones racionales constituyen una familia cerrada. Al igual que con los modelos polinomiales, esto significa que los modelos de funciones racionales no dependen de la métrica subyacente.
3. Los modelos de funciones racionales pueden adoptar una gama extremadamente amplia de formas, abarcando un rango mucho mayor que la familia de polinomios.
4. Los modelos de funciones racionales poseen mejores propiedades de interpolación que los modelos polinómicos. Las funciones racionales suelen ser más suaves y menos oscilatorias que los modelos polinómicos.
5. Las funciones racionales poseen una excelente capacidad de extrapolación. Por lo general, pueden adaptarse para modelar la función no solo dentro del dominio de los datos, sino también para que coincidan con el comportamiento teórico/asintótico fuera del dominio de interés.
6. Los modelos de funciones racionales poseen excelentes propiedades asintóticas. Las funciones racionales pueden ser finitas o infinitas para valores finitos de x, o finitas o infinitas para valores infinitos de x . Por lo tanto, las funciones racionales se pueden incorporar fácilmente a un modelo de función racional.
7. Los modelos de funciones racionales suelen utilizarse para modelar estructuras complejas con un grado relativamente bajo tanto en el numerador como en el denominador. Esto implica que se requerirán menos coeficientes en comparación con el modelo polinómico.
8. Los modelos de funciones racionales son relativamente fáciles de manejar computacionalmente. Si bien son modelos no lineales , los modelos de funciones racionales son particularmente fáciles de ajustar.
9. Una dificultad común al ajustar modelos no lineales es encontrar valores iniciales adecuados. Una gran ventaja de los modelos de funciones racionales es la capacidad de calcular valores iniciales mediante un ajuste lineal de mínimos cuadrados . Para ello, se eligen p puntos del conjunto de datos, donde p denota el número de parámetros en el modelo racional. Por ejemplo, dado el modelo lineal/cuadrático

${\displaystyle y={\frac {A_{0}+A_{1}x}{1+B_{1}x+B_{2}x^{2}}},}$

Sería necesario seleccionar cuatro puntos representativos y realizar un ajuste lineal al modelo.

${\displaystyle y=A_{0}+A_{1}x-B_{1}xy-B_{2}x^{2}y,}$

que se obtiene a partir de la ecuación anterior eliminando el denominador. Aquí, x e y contienen el subconjunto de puntos, no el conjunto completo de datos. Los coeficientes estimados de este ajuste lineal se utilizan como valores iniciales para ajustar el modelo no lineal al conjunto completo de datos.

Este tipo de ajuste, en el que la variable de respuesta aparece en ambos lados de la función, solo debe utilizarse para obtener valores iniciales para el ajuste no lineal. Las propiedades estadísticas de este tipo de ajustes no se comprenden del todo.

El subconjunto de puntos debe seleccionarse dentro del rango de los datos. No es crucial qué puntos se seleccionen, aunque deben evitarse los valores atípicos evidentes.

Los modelos de funciones racionales presentan las siguientes desventajas:

1. Las propiedades de la familia de funciones racionales no son tan conocidas por ingenieros y científicos como las de la familia de polinomios. La bibliografía sobre la familia de funciones racionales también es más limitada. Debido a que las propiedades de esta familia a menudo no se comprenden bien, puede resultar difícil responder a la siguiente pregunta de modelado: dado que los datos tienen una forma determinada, ¿qué valores se deben elegir para el grado del numerador y el grado del denominador?
2. El ajuste de funciones racionales sin restricciones puede, en ocasiones, generar asíntotas verticales no deseadas debido a raíces en el polinomio del denominador. El rango de valores de x afectados por la divergencia de la función puede ser bastante estrecho, pero dichas asíntotas, cuando aparecen, dificultan la interpolación local en las proximidades del punto de la asíntota. Estas asíntotas son fáciles de detectar mediante una simple gráfica de la función ajustada en función del rango de datos. Si bien estas asíntotas problemáticas ocurren de forma ocasional e impredecible, los expertos argumentan que la mayor flexibilidad en las formas compensa con creces la posibilidad de que se presenten, y que dichas asíntotas no deberían desincentivar la elección de modelos de funciones racionales para la modelización empírica.

• Gergonne, JD (1815). "Aplicación del método de las minas a la interpolación de suites". Annales de mathématiques pures et appliquées . 6 : 242–252 .
• Gergonne, JD (1974) [1815]. "La aplicación del método de mínimos cuadrados a la interpolación de secuencias" . Historia Mathematica . 1 (4) (Traducido por Ralph St. John y SM Stigler de la edición francesa de 1815  ): 439– 447. doi : 10.1016/0315-0860(74)90034-2 .
• Stigler, Stephen M. (1974). "El artículo de Gergonne de 1815 sobre el diseño y análisis de experimentos de regresión polinomial" . Historia Mathematica . 1 (4): 431– 439. doi : 10.1016/0315-0860(74)90033-0 .
• Smith, Kirstine (1918). "Sobre las desviaciones estándar de los valores ajustados e interpolados de una función polinómica observada y sus constantes, y la orientación que proporcionan para una elección adecuada de la distribución de las observaciones". Biometrika . 12 (1/2): 1–85 . doi : 10.1093/biomet/12.1-2.1 . JSTOR 2331929 .