Medición conjunta polinómica

La mayoría de las teorías científicas involucran más de dos atributos; por lo tanto, el caso de dos variables de medición conjunta tiene un alcance bastante limitado. Además, a diferencia de la teoría de la medición conjunta de n componentes, muchos atributos son composiciones no aditivas de otros atributos (Krantz, et al., 1971). Krantz (1968) propuso un esquema general para determinar el conjunto suficiente de axiomas de cancelación para una clase de reglas de combinación polinómica que denominó polinomios simples . La definición formal de este esquema dada por Krantz, et al., (1971, p.  328) es la siguiente.

Dejar${\displaystyle Y={\big \{}y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}{\big \}}}$. El conjunto${\displaystyle S\left(Y\right)}$es el conjunto más pequeño de polinomios simples tal que:

• ${\displaystyle y_{i}\in S\left(Y\right),i=1,\ldots ,n}$;
• ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subconjunto Y}$de tal manera que${\displaystyle Y_{1}\cap Y_{2}=\varnothing ,G_{1}\in S\left(Y_{1}\right)}$y${\displaystyle G_{2}\in S\left(Y_{2}\right)}$, entonces${\displaystyle G_{1}+G_{2}\,}$y${\displaystyle G_{1}G_{2}\,}$están en${\displaystyle S\left(Y\right)}$.

De manera informal, el esquema argumenta: a) los atributos individuales son polinomios simples; b) si G ₁ y G ₂ son polinomios simples disjuntos (es decir, no tienen atributos en común), entonces G ₁ + G ₂ y G ₁${\displaystyle \times }$G ₂ son polinomios simples; y c) ningún polinomio es simple excepto los dados por a) y b).

Sean A , P y U atributos únicos disjuntos. Del esquema de Krantz (1968) se deduce que existen cuatro clases de polinomios simples en tres variables que contienen un total de ocho polinomios simples:

• Aditivo :${\displaystyle A+P+U\,}$;
• Distributiva :${\displaystyle \left(A+P\right)U\,}$; más otros 2 obtenidos intercambiando A , P y U ;
• Distribución dual :${\displaystyle AP+U\,}$más otros 2 como se indica arriba;
• Multiplicativo :${\displaystyle APU\,}$.

El esquema de Krantz (1968) permite construir polinomios simples con un mayor número de atributos. Por ejemplo, si D es una variable única disjunta de A, B y C, entonces existen tres clases de polinomios simples con cuatro variables: A + B + C + D, D + (B + AC) y D + ABC. Este procedimiento puede aplicarse a cualquier número finito de variables. Una prueba sencilla consiste en comprobar que un polinomio simple puede descomponerse en el producto o la suma de dos polinomios simples más pequeños y disjuntos. Estos polinomios pueden descomponerse aún más hasta obtener variables únicas. Una expresión que no se puede descomponer de esta manera no es un polinomio simple (por ejemplo, AB + BC + AC (Krantz y Tversky, 1971)).

Dejar${\displaystyle A={\big \{}a,b,c,\ldots {\big \}}}$,${\displaystyle P={\big \{}p,q,r,\ldots {\big \}}}$y${\displaystyle U={\big \{}u,v,w,\ldots {\big \}}}$sean conjuntos no vacíos y disjuntos . Sea "${\displaystyle \succsim }$" sea un orden simple. Krantz et al. (1971) argumentaron que la cuádruple${\displaystyle Z=\langle A,P,U,\succsim \rangle }$es un sistema conjunto polinomial si y solo si se cumplen los siguientes axiomas.

• ORDEN DÉBIL .
• CANCELACIÓN ÚNICA . La relación "${\displaystyle \succsim }$" satisface la cancelación única en A siempre que${\displaystyle \left(a,p,u\right)\succsim \left(b,p,u\right)}$si y solo si${\displaystyle \left(a,q,v\right)\succsim \left(b,q,v\right)}$se aplica a todos${\displaystyle a,b\in A;p,q\in P}$y${\displaystyle u,v\in U}$. La cancelación única sobre P y U se define de manera similar.
• CANCELACIÓN DOBLE . La relación "${\displaystyle \succsim }$" al${\displaystyle A\times P}$satisface la doble cancelación si y solo si para todos${\displaystyle a,b,c\in A}$y${\displaystyle p,q,r\in P}$,${\displaystyle \left(a,q,u\right)\succsim \left(b,p,u\right)}$y${\displaystyle \left(b,r,u\right)\succsim \left(c,q,u\right)}$por lo tanto${\displaystyle \left(a,r,u\right)\succsim \left(c,p,u\right)}$es cierto para todos${\displaystyle u\in U}$La condición se mantiene de manera similar en${\displaystyle A\times U}$y${\displaystyle U\times P}$.
• CANCELACIÓN CONJUNTA ÚNICA . La relación "${\displaystyle \succsim }$" al${\displaystyle A\times P}$satisface cancelación única conjunta tal que${\displaystyle \left(a,p,u\right)\succsim \left(b,q,u\right)}$si y solo si${\displaystyle \left(a,p,v\right)\succsim \left(b,q,v\right)}$es cierto para todos${\displaystyle a,b\in A;p,q\in P}$y${\displaystyle u,v\in U}$La independencia conjunta se define de manera similar para${\displaystyle A\times U}$y${\displaystyle U\times P}$.
• CANCELACIÓN DISTRIBUTIVA . La cancelación distributiva se mantiene en${\displaystyle A\times P\times U}$si y solo si${\displaystyle \left(a,p,u\right)\succsim \left(c,r,v\right)}$,${\displaystyle \left(b,q,u\right)\succsim \left(d,s,v\right)}$y${\displaystyle \left(d,r,v\right)\succsim \left(b,p,u\right)}$implica${\displaystyle \left(a,q,u\right)\succsim \left(c,s,v\right)}$es cierto para todos${\displaystyle a,b,c,d\in A;p,q,r,s\in P}$y${\displaystyle u,v\in U}$.
• CANCELACIÓN DISTRIBUTIVA DOBLE . La cancelación distributiva doble se mantiene sobre${\displaystyle A\times P\times U}$si y solo si

${\displaystyle \left(a,r,w\right)\succsim \left(c,s,v\right)}$,${\displaystyle \left(d,p,u\right)\succsim \left(b,t,x\right)}$,${\displaystyle \left(d,r,x\right)\succsim \left(e,s,u\right)}$y${\displaystyle \left(c,t,y\right)\succsim \left(d,q,y\right)}$implica${\displaystyle \left(a,p,v\right)\succsim \left(b,q,w\right)}$es cierto para todos${\displaystyle a,b,c,d,e\in A;p,q,r,s,t\in P}$y${\displaystyle u,v,w,x,y\in U}$.

• SOLUBILIDAD . La relación "${\displaystyle \succsim }$" al${\displaystyle A\times P\times U}$es resoluble si y solo si para todo${\displaystyle a,b\in A;p,q\in P}$y${\displaystyle u,v\in U}$, existe${\displaystyle c\in A;r\in P}$y${\displaystyle w\in U}$de tal manera que${\displaystyle a\sim \left(b,q,w\right)\sim \left(b,r,v\right)\sim \left(c,q,v\right)}$.
• CONDICIÓN ARQUIMEDIANA .

El cuádruple${\displaystyle Z=\langle A,P,U,\succsim \rangle }$En virtud del axioma de cancelación simple conjunta, pertenece a una clase de polinomios simples de tres variables.