Mapeo polinomial

En álgebra , una aplicación polinómica o mapeo polinómico${\displaystyle P:V\to W}$La relación entre espacios vectoriales sobre un campo infinito k es un polinomio en funcionales lineales con coeficientes en k ; es decir, se puede escribir como

${\displaystyle P(v)=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}}\lambda _{i_{1}}(v)\cdots \lambda _{i_{n}}(v)w_{i_{1},\dots ,i_{n}}}$

donde el${\displaystyle \lambda _ {i_ {j}}:V\to k}$son funcionales lineales y el${\ Displaystyle w_ {i_ {1}, \ puntos, i_ {n}}}$son vectores en W. Por ejemplo, si${\displaystyle W=k^{m}}$, entonces una aplicación polinómica puede expresarse como${\displaystyle P(v)=(P_{1}(v),\dots,P_{m}(v))}$donde el${\displaystyle P_{i}}$son funciones polinómicas (con valores escalares) definidas en V. (La definición abstracta tiene la ventaja de que la aplicación es manifiestamente independiente de la elección de una base).

Cuando V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y se consideran variedades algebraicas , entonces una aplicación polinómica es precisamente un morfismo de variedades algebraicas .

Una cuestión fundamental pendiente en relación con las aplicaciones polinómicas es la conjetura jacobiana , que se refiere a la suficiencia de una aplicación polinómica para ser invertible.

• functor polinomial

• Claudio Procesi (2007) Grupos de Lie: un enfoque a través de invariantes y representación , Springer, ISBN 9780387260402.