Anillo de polinomios

Dejar

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},}$

sea ​​un polinomio distinto de cero con${\displaystyle p_{m}\neq 0}$.

• El término constante de p es${\displaystyle p_{0}.}$Es cero en el caso del polinomio cero.
• El grado de p , escrito deg( p ) , es el mayor número k tal que el coeficiente de X ^k no es cero. ^{[ 4 ]}
• El coeficiente principal de p es${\displaystyle p_{m}.}$^{[ 5 ]}
• En el caso especial del polinomio cero, cuyos coeficientes son todos cero, el coeficiente principal no está definido y el grado se ha dejado indefinido de diversas maneras, ^{[ 6 ]} definido como −1 , ^{[ 7 ]} o definido como −∞ . ^{[ 8 ]}
• Un polinomio constante es o bien el polinomio cero, o bien un polinomio de grado cero.
• Un polinomio distinto de cero es mónico si su coeficiente principal es${\displaystyle 1.}$

Dados dos polinomios p y q , si el grado del polinomio cero se define como${\displaystyle -\infty ,}$uno tiene

${\displaystyle \deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),}$

y, sobre un campo , o más generalmente un dominio integral , ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).}$

De ello se deduce inmediatamente que, si K es un dominio de integridad, entonces también lo es K [ X ] . ^{[ 10 ]}

De ello se deduce también que, si K es un dominio de integridad, un polinomio es una unidad ( es decir, tiene un inverso multiplicativo ) si y solo si es constante y es una unidad en K.

Dos polinomios están asociados si cualquiera de ellos es el producto del otro por una unidad.

Sobre un cuerpo, cada polinomio no nulo está asociado a un único polinomio mónico.

Dados dos polinomios, p y q , se dice que p divide a q , p es un divisor de q , o q es un múltiplo de p , si existe un polinomio r tal que q = pr .

Un polinomio es irreducible si no es el producto de dos polinomios no constantes, o equivalentemente, si sus divisores son polinomios constantes o tienen el mismo grado.

Sea K un cuerpo o, más generalmente, un anillo conmutativo , y R un anillo que contiene a K. Para cualquier polinomio P en K [ X ] y cualquier elemento a en R , la sustitución de X por a en P define un elemento de R , que se denota P ( a ) . Este elemento se obtiene llevando a cabo en R, después de la sustitución, las operaciones indicadas por la expresión del polinomio. Este cálculo se llama evaluación de P en a . Por ejemplo, si tenemos

${\displaystyle P=X^{2}-1,}$

tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}}$

(en el primer ejemplo R = K , y en el segundo R = K [ X ] ). Sustituyendo X por sí mismo se obtiene

${\displaystyle P=P(X),}$

explicar por qué las oraciones "Sea P un polinomio" y "Sea P ( X ) un polinomio" son equivalentes.

La función polinómica definida por un polinomio P es la función de K en K que está definida por${\displaystyle x\mapsto P(x).}$Si K es un cuerpo infinito, dos polinomios diferentes definen funciones polinómicas distintas, pero esta propiedad es falsa para cuerpos finitos. Por ejemplo, si K es un cuerpo con q elementos, entonces los polinomios 0 y X ^q − X definen la función cero.

Para cada a en R , la evaluación en a , es decir, el mapa${\displaystyle P\mapsto P(a)}$define un homomorfismo de álgebra de K [ X ] a R , que es el único homomorfismo de K [ X ] a R que fija K y mapea X a a . En otras palabras, K [ X ] tiene la siguiente propiedad universal :

Para cada anillo R que contiene a K y para cada elemento a de R , existe un homomorfismo de álgebra único de K [ X ] a R que fija K y asigna X a a .

Como ocurre con todas las propiedades universales, esta define el par ( K [ X ], X ) salvo un único isomorfismo, y por lo tanto puede tomarse como una definición de K [ X ] .

La imagen del mapa${\displaystyle P\mapsto P(a)}$, es decir, el subconjunto de R obtenido al sustituir a por X en elementos de K [ X ] , se denota K [ a ] ​​y se llama la adjunción de a a K . ^{[ 11 ]} Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{P({\sqrt {2}})\mid P(X)\in \mathbb {Z} [X]\}}$y las reglas de simplificación para las potencias de una raíz cuadrada implican${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}.}$

La derivada (formal) del polinomio

${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}}$

es el polinomio

${\displaystyle a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.}$

En el caso de polinomios con coeficientes reales o complejos , se trata de la derivada estándar . La fórmula anterior define la derivada de un polinomio incluso si sus coeficientes pertenecen a un anillo en el que no se define la noción de límite . La derivada convierte el anillo de polinomios en un álgebra diferencial .

La existencia de la derivada es una de las propiedades principales de un anillo de polinomios que no comparte con los números enteros, y hace que algunos cálculos sean más fáciles en un anillo de polinomios que en los números enteros.

Excepto por la factorización, todas las propiedades anteriores de K [ X ] son ​​efectivas , ya que sus demostraciones, como se ha esbozado anteriormente, están asociadas a algoritmos para comprobar la propiedad y calcular los polinomios cuya existencia se afirma. Además, estos algoritmos son eficientes, puesto que su complejidad computacional es una función cuadrática del tamaño de la entrada.

La situación es completamente diferente para la factorización: la demostración de la factorización única no proporciona ninguna pista sobre un método para factorizar. Incluso para los números enteros, no se conoce ningún algoritmo que se ejecute en una computadora clásica (no cuántica) para factorizarlos en tiempo polinomial . Esta es la base del sistema criptográfico RSA , ampliamente utilizado para comunicaciones seguras en Internet.

En el caso de K [ X ] , los factores y los métodos para calcularlos dependen fuertemente de K. Sobre los números complejos, los factores irreducibles (aquellos que no se pueden factorizar más) son todos de grado uno, mientras que, sobre los números reales, hay polinomios irreducibles de grado 2, y, sobre los números racionales , hay polinomios irreducibles de cualquier grado. Por ejemplo, el polinomio${\displaystyle X^{4}-2}$es irreducible sobre los números racionales, se factoriza como${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})}$sobre los números reales y, y como${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})}$sobre los números complejos.

La existencia de un algoritmo de factorización depende también del cuerpo base. En el caso de los números reales o complejos, el teorema de Abel-Ruffini demuestra que las raíces de algunos polinomios, y por lo tanto los factores irreducibles, no pueden calcularse con exactitud. Por consiguiente, un algoritmo de factorización solo puede calcular aproximaciones de los factores. Se han diseñado diversos algoritmos para calcular dichas aproximaciones; véase « Cálculo de raíces de polinomios» .

Existe un ejemplo de un campo K tal que existen algoritmos exactos para las operaciones aritméticas de K , pero no puede existir ningún algoritmo para decidir si un polinomio de la forma${\displaystyle X^{p}-a}$es irreducible o es un producto de polinomios de menor grado. ^{[ 12 ]}

Por otro lado, en el caso de los números racionales y los cuerpos finitos, la situación es mejor que en la factorización de enteros , ya que existen algoritmos de factorización con complejidad polinómica . Estos algoritmos están implementados en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional de propósito general .

Si θ es un elemento de un álgebra asociativa K L , la evaluación del polinomio en θ es el único homomorfismo de álgebra φ de K [ X ] en L que mapea X a θ y no afecta a los elementos de K mismo (es la aplicación identidad en K ). Consiste en sustituir X por θ en cada polinomio. Es decir,

${\displaystyle \varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.}$

La imagen de este homomorfismo de evaluación es la subálgebra generada por θ , que es necesariamente conmutativa. Si φ es inyectiva, la subálgebra generada por θ es isomorfa a K [ X ] . En este caso, esta subálgebra se suele denotar por K [ θ ] . La ambigüedad en la notación es generalmente inofensiva debido al isomorfismo.

Si el homomorfismo de evaluación no es inyectivo, esto significa que su núcleo es un ideal no nulo , formado por todos los polinomios que se anulan al sustituir X por θ . Este ideal consta de todos los múltiplos de algún polinomio mónico, denominado polinomio mínimo de θ . El término «mínimo» se debe a que su grado es mínimo entre los grados de los elementos del ideal.

Existen dos casos principales en los que se consideran polinomios mínimos.

En teoría de cuerpos y teoría de números , un elemento θ de un cuerpo de extensión L de K es algebraico sobre K si es raíz de algún polinomio con coeficientes en K. El polinomio mínimo sobre K de θ es, por lo tanto, el polinomio mónico de grado mínimo que tiene a θ como raíz. Dado que L es un cuerpo, este polinomio mínimo es necesariamente irreducible sobre K. Por ejemplo, el polinomio mínimo (tanto sobre los reales como sobre los racionales) del número complejo i es${\displaystyle X^{2}+1}$. Los polinomios ciclotómicos son los polinomios mínimos de las raíces de la unidad .

En álgebra lineal , las matrices cuadradas n × n sobre K forman un álgebra asociativa de K de dimensión finita (como espacio vectorial). Por lo tanto, el homomorfismo de evaluación no puede ser inyectivo, y toda matriz tiene un polinomio mínimo (no necesariamente irreducible). Según el teorema de Cayley-Hamilton , el homomorfismo de evaluación asigna a cero el polinomio característico de una matriz. De ello se deduce que el polinomio mínimo divide al polinomio característico, y por consiguiente, que el grado del polinomio mínimo es como máximo n .

En el caso de K [ X ] , el anillo cociente por un ideal se puede construir, como en el caso general, como un conjunto de clases de equivalencia . Sin embargo, como cada clase de equivalencia contiene exactamente un polinomio de grado mínimo, otra construcción suele ser más conveniente.

Dado un polinomio p de grado d , el anillo cociente de K [ X ] por el ideal generado por p puede identificarse con el espacio vectorial de los polinomios de grados menores que d , con la "multiplicación módulo p " como una multiplicación, la multiplicación módulo p consiste en el resto de la división por p del producto (usual) de polinomios. Este anillo cociente se denota de diversas maneras como${\displaystyle K[X]/pK[X],}$${\displaystyle K[X]/\langle p\rangle ,}$${\displaystyle K[X]/(p),}$o simplemente${\displaystyle K[X]/p.}$

El anillo${\displaystyle K[X]/(p)}$es un cuerpo si y solo si p es un polinomio irreducible . De hecho, si p es irreducible, todo polinomio no nulo q de grado inferior es coprimo con p , y la identidad de Bézout permite calcular r y s tales que sp + qr = 1 ; por lo tanto, r es el inverso multiplicativo de q módulo p . Recíprocamente, si p es reducible, entonces existen polinomios a, b de grados inferiores a deg( p ) tales que ab = p ; por lo tanto , a, b son divisores de cero no nulos módulo p , y no pueden ser invertibles.

Por ejemplo, la definición estándar del cuerpo de los números complejos se puede resumir diciendo que es el anillo cociente.

${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),}$

y que la imagen de X en${\displaystyle \mathbb {C} }$se denota por i . De hecho, según la descripción anterior, este cociente consta de todos los polinomios de grado uno en i , que tienen la forma a + bi , con a y b en${\displaystyle \mathbb {R} .}$El resto de la división euclidiana que se necesita para multiplicar dos elementos del anillo cociente se obtiene reemplazando i ² por −1 en su producto como polinomios (esta es exactamente la definición usual del producto de números complejos). Esta construcción de${\displaystyle \mathbb {C} }$ilustra la construcción más general de álgebras cuadráticas como anillos cociente sobre un polinomio cuadrático mónico. ^{[ 13 ]}

Sea θ un elemento algebraico en un álgebra K A. Por algebraico , se entiende que θ tiene un polinomio mínimo p . El primer teorema de isomorfismo de anillos afirma que el homomorfismo de sustitución induce un isomorfismo de${\displaystyle K[X]/(p)}$sobre la imagen K [ θ ] del homomorfismo de sustitución. En particular, si A es una extensión simple de K generada por θ , esto permite identificar A y${\displaystyle K[X]/(p).}$Esta identificación se utiliza ampliamente en la teoría algebraica de números .

El teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal se aplica a K [ X ], cuando K es un cuerpo. Esto significa que todo módulo finitamente generado sobre K [ X ] puede descomponerse en una suma directa de un módulo libre y un número finito de módulos de la forma${\displaystyle K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle }$donde P es un polinomio irreducible sobre K y k un entero positivo.

La suma y la multiplicación escalar de polinomios son las de un espacio vectorial o módulo libre equipado con una base específica (en este caso, la base de los monomios). Explícitamente, sea ${\displaystyle p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },}$ donde I y J son conjuntos finitos de vectores exponenciales.

La multiplicación escalar de p y un escalar${\displaystyle c\in K}$es

${\displaystyle cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha }.}$

La suma de p y q es

${\displaystyle p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha })X^{\alpha },}$

dónde${\displaystyle p_{\alpha }=0}$si${\displaystyle \alpha \not \in I,}$y${\displaystyle q_{\beta }=0}$si${\displaystyle \beta \not \in J.}$Además, si uno tiene${\displaystyle p_{\alpha }+q_{\alpha }=0}$para algunos${\displaystyle \alpha \in I\cap J,}$El término cero correspondiente se elimina del resultado.

La multiplicación es

${\displaystyle pq=\sum _{\gamma \in I+J}\left(\sum _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha }q_{\beta }\right)X^{\gamma },}$

dónde${\displaystyle I+J}$es el conjunto de sumas de un vector exponencial en I y otro en J (suma usual de vectores). En particular, el producto de dos monomios es un monomio cuyo vector exponencial es la suma de los vectores exponenciales de sus factores.

La verificación de los axiomas de un álgebra asociativa es sencilla.

Una expresión polinómica es una expresión construida con escalares (elementos de K ), indeterminadas y los operadores de suma, multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas.

Como todas estas operaciones están definidas en${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$una expresión polinómica representa un polinomio, es decir, un elemento de${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$La definición de un polinomio como una combinación lineal de monomios es una expresión polinómica particular, que a menudo se denomina forma canónica , forma normal o forma expandida del polinomio. Dada una expresión polinómica, se puede calcular la forma expandida del polinomio representado expandiendo con la ley distributiva todos los productos que tienen una suma entre sus factores, y luego usando la conmutatividad (excepto para el producto de dos escalares) y la asociatividad para transformar los términos de la suma resultante en productos de un escalar y un monomio; luego se obtiene la forma canónica reagrupando los términos semejantes .

La distinción entre una expresión polinómica y el polinomio que representa es relativamente reciente y está motivada principalmente por el auge del álgebra computacional , donde, por ejemplo, la prueba de si dos expresiones polinómicas representan el mismo polinomio puede ser un cálculo no trivial.

Si K es un anillo conmutativo, el anillo de polinomios K [ X ₁ , …, X _n ] tiene la siguiente propiedad universal : para cada K -álgebra conmutativa A , y cada n - tupla ( x ₁ , …, x _n ) de elementos de A , existe un homomorfismo de álgebras único de K [ X ₁ , …, X _n ] a A que mapea cada${\displaystyle X_{i}}$al correspondiente${\displaystyle x_{i}.}$Este homomorfismo es el homomorfismo de evaluación que consiste en sustituir${\displaystyle X_{i}}$con${\displaystyle x_{i}}$en cada polinomio.

Como ocurre con toda propiedad universal, esto caracteriza al par.${\displaystyle (K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))}$hasta un isomorfismo único .

Esto también puede interpretarse en términos de funtores adjuntos . Más precisamente, sean SET y ALG respectivamente las categorías de conjuntos y K -álgebras conmutativas (aquí, y en lo sucesivo, los morfismos se definen trivialmente). Existe un funtor olvidadizo.${\displaystyle \mathrm {F}$ :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET} } que mapea álgebras a sus conjuntos subyacentes. Por otro lado, el mapeo${\displaystyle X\mapsto K[X]}$define un functor${\displaystyle \mathrm {POL}$ :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG} } en la otra dirección. (Si X es infinito, K [ X ] es el conjunto de todos los polinomios en un número finito de elementos de X .)

La propiedad universal del anillo de polinomios significa que F y POL son functores adjuntos . Es decir, existe una biyección.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A).}$

Esto también puede expresarse diciendo que los anillos de polinomios son álgebras conmutativas libres , puesto que son objetos libres en la categoría de álgebras conmutativas. De manera similar, un anillo de polinomios con coeficientes enteros es el anillo conmutativo libre sobre su conjunto de variables, ya que los anillos conmutativos y las álgebras conmutativas sobre los enteros son lo mismo.

En esta sección, R es un anillo conmutativo, K es un cuerpo, X denota una indeterminada simple y, como es habitual,${\displaystyle \mathbb {Z} }$es el anillo de los enteros. Aquí está la lista de las principales propiedades del anillo que permanecen verdaderas al pasar de R a R [ X ] .

• Si R es un dominio de integridad, entonces lo mismo se aplica a R [ X ] (ya que el coeficiente principal de un producto de polinomios es, si no cero, el producto de los coeficientes principales de los factores).
  • En particular,${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$y${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$son dominios integrales.
• Si R es un dominio de factorización única, entonces lo mismo se cumple para R [ X ] . Esto resulta del lema de Gauss y de la propiedad de factorización única de${\displaystyle L[X],}$donde L es el campo de fracciones de R.
  • En particular,${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$y${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$son dominios de factorización únicos.
• Si R es un anillo noetheriano , entonces lo mismo se aplica a R [ X ] .
  • En particular,${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$y${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$son anillos noetherianos; este es el teorema de la base de Hilbert .
• Si R es un anillo noetheriano, entonces${\displaystyle \dim R[X]=1+\dim R,}$dónde "${\displaystyle \dim }$" denota la dimensión de Krull .
  • En particular,${\displaystyle \dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}$y${\displaystyle \dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.}$
• Si R es un anillo regular , entonces lo mismo se aplica a R [ X ] ; en este caso, se tiene$${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,}$$dónde "${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim }$" denota la dimensión global .
  • En particular,${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$y${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ son anillos regulares,${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,}$y${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.}$Esta última igualdad es el teorema de la sizigia de Hilbert .

El Nullstellensatz (en alemán, "teorema del lugar geométrico cero") es un teorema, demostrado por primera vez por David Hilbert , que extiende al caso multivariable algunos aspectos del teorema fundamental del álgebra . Es fundamental para la geometría algebraica , ya que establece un fuerte vínculo entre las propiedades algebraicas de${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$y las propiedades geométricas de las variedades algebraicas , que son (en términos generales) conjuntos de puntos definidos por ecuaciones polinómicas implícitas .

El Nullstellensatz tiene tres versiones principales, cada una de las cuales es un corolario de las demás. Dos de estas versiones se presentan a continuación. Para la tercera versión, se remite al lector al artículo principal sobre el Nullstellensatz.

La primera versión generaliza el hecho de que un polinomio univariado distinto de cero tiene una raíz compleja si y solo si no es una constante. La afirmación es: un conjunto de polinomios S en${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$tiene un cero común en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a K , si y solo si 1 no pertenece al ideal generado por S , es decir, si 1 no es una combinación lineal de elementos de S con coeficientes polinomiales .

La segunda versión generaliza el hecho de que los polinomios univariados irreducibles sobre los números complejos están asociados a un polinomio de la forma${\displaystyle X-\alpha .}$La afirmación es: Si K es algebraicamente cerrado, entonces los ideales maximales de${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$tener la forma${\displaystyle \langle X_{1}-\alpha _{1},\ldots ,X_{n}-\alpha _{n}\rangle .}$

El teorema de Bézout puede considerarse una generalización multivariada de la versión del teorema fundamental del álgebra que afirma que un polinomio univariado de grado n tiene n raíces complejas, si se cuentan con sus multiplicidades.

En el caso de polinomios bivariados , se afirma que dos polinomios de grados d y e en dos variables, que no tienen factores comunes de grado positivo, tienen exactamente de ceros comunes en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes, si los ceros se cuentan con su multiplicidad e incluyen los ceros en el infinito .

Para enunciar el caso general, y no considerar el "cero en el infinito" como ceros especiales, es conveniente trabajar con polinomios homogéneos y considerar ceros en un espacio proyectivo . En este contexto, un cero proyectivo de un polinomio homogéneo${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})}$es, salvo un factor de escala, una ( n + 1) - tupla${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$ de elementos de K que es diferente de (0, …, 0) , y tal que${\displaystyle P(x_{0},\ldots ,x_{n})=0}$. Aquí, "hasta un cierto grado de escala" significa que${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$y${\displaystyle (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})}$se consideran como el mismo cero para cualquier distinto de cero${\displaystyle \lambda \in K.}$En otras palabras, un cero es un conjunto de coordenadas homogéneas de un punto en un espacio proyectivo de dimensión n .

Entonces, el teorema de Bézout establece: Dados n polinomios homogéneos de grados${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$en n + 1 indeterminadas, que tienen solo un número finito de ceros proyectivos comunes en una extensión algebraicamente cerrada de K , la suma de las multiplicidades de estos ceros es el producto${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$

Una ligera generalización de los anillos de polinomios consiste en permitir un número infinito de indeterminadas. Cada monomio sigue involucrando solo un número finito de indeterminadas (de modo que su grado permanece finito), y cada polinomio sigue siendo una combinación lineal (finita) de monomios. Por lo tanto, cualquier polinomio individual involucra solo un número finito de indeterminadas, y cualquier cálculo finito que involucre polinomios permanece dentro de algún subanillo de polinomios con un número finito de indeterminadas. Esta generalización posee la misma propiedad que los anillos de polinomios usuales, la de ser el álgebra conmutativa libre ; la única diferencia es que es un objeto libre sobre un conjunto infinito.

También se puede considerar un anillo estrictamente mayor, definiendo como polinomio generalizado una suma formal infinita (o finita) de monomios con grado acotado. Este anillo es mayor que el anillo de polinomios usual, ya que incluye sumas infinitas de variables. Sin embargo, es menor que el anillo de series de potencias en un número infinito de variables . Dicho anillo se utiliza para construir el anillo de funciones simétricas sobre un conjunto infinito.

Una generalización simple solo cambia el conjunto del cual se extraen los exponentes de la variable. Las fórmulas para la suma y la multiplicación tienen sentido siempre que se puedan sumar exponentes: X ⁱ ⋅ X ^j = X ^{i + j} . Un conjunto para el cual la suma tiene sentido (es cerrado y asociativo) se llama monoide . El conjunto de funciones de un monoide N a un anillo R que son distintas de cero solo en un número finito de lugares puede tener la estructura de un anillo conocido como R [ N ], el anillo monoide de N con coeficientes en R . La suma se define componente a componente, de modo que si c = a + b , entonces c _n = a _n + b _n para cada n en N . La multiplicación se define como el producto de Cauchy, de modo que si c = a ⋅ b , entonces para cada n en N , c _n es la suma de todos los a _i b _j donde i , j recorren todos los pares de elementos de N que suman n .

Cuando N es conmutativo, es conveniente denotar la función a en R [ N ] como la suma formal:

${\displaystyle \sum _{n\in N}a_{n}X^{n}}$

y luego las fórmulas para la suma y la multiplicación son las conocidas:

${\displaystyle \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}}$

y

${\displaystyle \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}}$

donde esta última suma se toma sobre todos los i , j en N que suman n .

Algunos autores llegan incluso a tomar esta definición de monoide como punto de partida, y los polinomios regulares de una variable son el caso especial donde N es el monoide de los enteros no negativos. ^{[ 15 ]} Los polinomios en varias variables simplemente toman N como el producto directo de varias copias del monoide de los enteros no negativos.

Se forman varios ejemplos interesantes de anillos y grupos tomando N como el monoide aditivo de los números racionales no negativos. ^{[ 16 ]}

Las series de potencias generalizan la elección del exponente en una dirección diferente al permitir infinitos términos no nulos. Esto requiere varias hipótesis sobre el monoide N utilizado para los exponentes, para asegurar que las sumas en el producto de Cauchy sean sumas finitas. Alternativamente, se puede colocar una topología en el anillo, y entonces uno se restringe a sumas infinitas convergentes. Para la elección estándar de N , los enteros no negativos, no hay problema, y ​​el anillo de series de potencias formales se define como el conjunto de funciones de N a un anillo R con suma componente a componente, y multiplicación dada por el producto de Cauchy. El anillo de series de potencias también puede verse como la completación del anillo de polinomios con respecto al ideal generado por x .

Para anillos de polinomios de más de una variable, los productos X ⋅ Y e Y ⋅ X se definen simplemente como iguales. Se obtiene una noción más general de anillo de polinomios cuando se mantiene la distinción entre estos dos productos formales. Formalmente, el anillo de polinomios en n variables no conmutativas con coeficientes en el anillo R es el anillo monoide R [ N ], donde el monoide N es el monoide libre sobre n letras, también conocido como el conjunto de todas las cadenas sobre un alfabeto de n símbolos, con la multiplicación dada por concatenación. Ni los coeficientes ni las variables necesitan conmutar entre sí, pero los coeficientes y las variables sí conmutan entre sí.

Así como el anillo de polinomios en n variables con coeficientes en el anillo conmutativo R es el álgebra R conmutativa libre de rango n , el anillo de polinomios no conmutativos en n variables con coeficientes en el anillo conmutativo R es el álgebra R asociativa libre y unitaria en n generadores, que es no conmutativa cuando n  >  1.

Otras generalizaciones de los polinomios son los anillos diferenciales y los anillos de polinomios sesgados.

Un anillo de polinomios diferenciales es un anillo de operadores diferenciales formado a partir de un anillo R y una derivación δ de R en R. Esta derivación opera sobre R y se denotará X cuando se considere como un operador. Los elementos de R también operan sobre R mediante multiplicación. La composición de operadores se denota como la multiplicación usual. De ello se deduce que la relación δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b puede reescribirse como

${\displaystyle X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).}$

Esta relación puede extenderse para definir una multiplicación sesgada entre dos polinomios en X con coeficientes en R , que los convierten en un anillo no conmutativo .

El ejemplo estándar, denominado álgebra de Weyl , toma R como un anillo de polinomios (usual) k [ Y ] y δ como la derivada polinómica estándar.${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial Y}}}$Tomando a = Y en la relación anterior, se obtiene la relación de conmutación canónica , X ⋅ Y − Y ⋅ X = 1. Extendiendo esta relación mediante la asociatividad y la distributividad se puede construir explícitamente el álgebra de Weyl . ( Lam 2001 , §1, ex1.9 )

El anillo de polinomios sesgados se define de manera similar para un anillo R y un endomorfismo de anillo f de R , extendiendo la multiplicación de la relación X ⋅ r = f ( r )⋅ X para producir una multiplicación asociativa que se distribuye sobre la suma estándar. De manera más general, dado un homomorfismo F del monoide N de los enteros positivos en el anillo de endomorfismos de R , la fórmula X ⁿ ⋅ r = F ( n )( r )⋅ X ⁿ permite construir un anillo de polinomios sesgados. ( Lam 2001 , §1, ej 1.11) Los anillos de polinomios sesgados están estrechamente relacionados con las álgebras de producto cruzado .

La definición de anillo de polinomios se puede generalizar relajando el requisito de que la estructura algebraica R sea un cuerpo o un anillo, reduciéndolo al requisito de que R sea solo un semicuerpo o un rig ; la estructura/extensión de polinomios resultante R [ X ] es un rig de polinomios . Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios multivariados con coeficientes naturales es un rig de polinomios.