Transformación polinómica

Dejar

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

sea ​​un polinomio, y

${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$

sus raíces complejas (no necesariamente distintas).

Para cualquier constante c , el polinomio cuyas raíces son

${\displaystyle \alpha _{1}+c,\ldots ,\alpha _{n}+c}$

es

${\displaystyle Q(y)=P(yc)=a_{0}(yc)^{n}+a_{1}(yc)^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

Si los coeficientes de P son enteros y la constante${\displaystyle c={\frac {p}{q}}}$es un número racional , los coeficientes de Q pueden no ser enteros, pero el polinomio c ⁿ Q tiene coeficientes enteros y tiene las mismas raíces que Q.

Un caso especial es cuando${\displaystyle c={\frac {a_{1}}{na_{0}}}.}$El polinomio resultante Q no tiene ningún término en y ^{n − 1} .

Dejar

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

Sea P un polinomio. El polinomio cuyas raíces son los recíprocos de las raíces de P es su polinomio recíproco.

${\displaystyle Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

Dejar

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

Sea P un polinomio y c una constante distinta de cero. Un polinomio cuyas raíces son el producto por c de las raíces de P es

${\displaystyle Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots +a_{n}c^{n}.}$

El factor c ⁿ aparece aquí porque, si c y los coeficientes de P son enteros o pertenecen a algún dominio entero , lo mismo es cierto para los coeficientes de Q.

En el caso especial donde${\displaystyle c=a_{0}}$, todos los coeficientes de Q son múltiplos de c y${\displaystyle {\frac {Q}{c}}}$es un polinomio mónico , cuyos coeficientes pertenecen a cualquier dominio entero que contenga a c y los coeficientes de P. Esta transformación polinómica se usa a menudo para reducir problemas sobre números algebraicos a problemas sobre enteros algebraicos .

Combinando esto con una traducción de las raíces por${\displaystyle {\frac {a_{1}}{na_{0}}}}$, permite reducir cualquier problema sobre las raíces de un polinomio, como la búsqueda de raíces , a un problema similar sobre un polinomio más simple, que es mónico y no tiene un término de grado n − 1. Para ejemplos de esto, véase Función cúbica § Reducción a una función cúbica reducida o Función cuártica § Conversión a una función cuártica reducida .

Si el polinomio P es irreducible , entonces el polinomio resultante Q es irreducible o es una potencia de un polinomio irreducible. Sea${\displaystyle \alpha }$Sea P una raíz y consideremos L , la extensión de campo generada por${\displaystyle \alpha }$El primer caso significa que${\displaystyle f(\alpha )}$es un elemento primitivo de L , que tiene a Q como polinomio mínimo . En este último caso,${\displaystyle f(\alpha )}$pertenece a un subcampo de L y su polinomio mínimo es el polinomio irreducible que tiene a Q como potencia.