Modelo de Rasch politómico

El modelo de Rasch politómico es una generalización del modelo de Rasch dicotómico . Se trata de un modelo de medición con potencial aplicación en cualquier contexto cuyo objetivo sea medir un rasgo o habilidad mediante un proceso en el que las respuestas a los ítems se puntúan con números enteros sucesivos . Por ejemplo, el modelo es aplicable al uso de escalas Likert , escalas de calificación y a ítems de evaluación educativa en los que las puntuaciones enteras sucesivamente más altas pretenden indicar niveles crecientes de competencia o logro.

Antecedentes y descripción general

El modelo politómico de Rasch fue derivado por Andrich (1978) , tras las derivaciones de Rasch (1961) y Andersen (1977) , mediante la descomposición de los términos relevantes de una forma general del modelo de Rasch en parámetros de umbral y discriminación . Al derivar el modelo, Andrich se centró en el uso de escalas Likert en psicometría , tanto con fines ilustrativos como para facilitar la interpretación del modelo.

El modelo a veces se denomina Modelo de Escala de Calificación cuando (i) los ítems tienen el mismo número de umbrales y (ii) a su vez, la diferencia entre cualquier ubicación de umbral dada y la media de las ubicaciones de umbral es igual o uniforme en todos los ítems. Sin embargo, este nombre puede resultar engañoso, ya que su aplicación es mucho más general que la de las llamadas escalas de calificación. El modelo también se conoce a veces como Modelo de Crédito Parcial , especialmente cuando se aplica en contextos educativos. El Modelo de Crédito Parcial ( Masters, 1982 ) tiene una forma algebraica idéntica, pero se derivó de un punto de partida diferente en un momento posterior y se interpreta de una manera algo distinta. El Modelo de Crédito Parcial también permite diferentes umbrales para diferentes ítems. Aunque este nombre se usa con frecuencia, Andrich (2005) proporciona un análisis detallado de los problemas asociados con elementos del enfoque de Masters, que se relacionan específicamente con el tipo de proceso de respuesta compatible con el modelo y con situaciones empíricas en las que las estimaciones de las ubicaciones de umbral están desordenadas. Estos problemas se discuten en la elaboración del modelo que sigue.

El modelo es un modelo de medición probabilístico general que proporciona una base teórica para el uso de puntuaciones enteras secuenciales, preservando la propiedad distintiva que define a los modelos de Rasch: específicamente, las puntuaciones brutas totales son estadísticas suficientes para los parámetros de los modelos. Consulte el artículo principal sobre el modelo de Rasch para obtener más información sobre esta propiedad. Además de preservar esta propiedad, el modelo permite una prueba empírica rigurosa de la hipótesis de que las categorías de respuesta representan niveles crecientes de un atributo o rasgo latente, y por lo tanto están ordenadas. La razón por la que el modelo proporciona una base para probar esta hipótesis es que es empíricamente posible que los umbrales no muestren el orden previsto.

En esta forma más general del modelo de Rasch para datos dicotómicos, la puntuación en un ítem particular se define como el número de ubicaciones umbral en el rasgo latente que el individuo ha superado. Esto no significa que un proceso de medición implique realizar tales recuentos en un sentido literal; más bien, las ubicaciones umbral en un continuo latente se infieren generalmente a partir de una matriz de datos de respuesta mediante un proceso de estimación como la estimación de máxima verosimilitud condicional . En general, la característica central del proceso de medición es que los individuos se clasifican en una de un conjunto de categorías ordenadas contiguas o adyacentes. Un formato de respuesta empleado en un contexto experimental dado puede lograr esto de varias maneras. Por ejemplo, los encuestados pueden elegir una categoría que perciban que capture mejor su nivel de aprobación de una afirmación (como "totalmente de acuerdo"), los jueces pueden clasificar a las personas en categorías según criterios bien definidos, o una persona puede categorizar un estímulo físico según la similitud percibida con un conjunto de estímulos de referencia.

El modelo de Rasch politómico se especializa en el modelo para datos dicotómicos, donde las respuestas se pueden clasificar en solo dos categorías. En este caso particular, la dificultad del ítem y el umbral (único) son idénticos. El concepto de umbral se desarrolla con más detalle en la siguiente sección.

El modelo de Rasch politómico

Primero, dejemos

X_{ni}=x\in \{0,1,\dots ,m_{i}\}\,

sea una variable aleatoria entera donde $m_{i}$ es la puntuación máxima para el ítem i . Es decir, la variable $X_{ni}$ es una variable aleatoria que puede tomar valores enteros entre 0 y un máximo de $m_{i}$ .

En el modelo politómico de Rasch ( Andrich 1978 ) , la probabilidad del resultado $X_{ni}=x$ es

\Pr\{X_{ni}=x,x>0\}={\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _ {ki}})}}};

\Pr\{X_{ni}=0\}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}}

dónde $\tau _{ki}$ es la k -ésima ubicación umbral del elemento i en un continuo latente, $\beta _{n}$ es la ubicación de la persona n en el mismo continuo, y $m_{i}$ es la puntuación máxima para el ítem i . Estas ecuaciones son las mismas que

\Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}{\sum _{j=0}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}}

donde el valor de $\tau _{0i}$ se elige por conveniencia computacional, es decir: $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ .

El modelo de escala de calificación

De manera similar, el modelo de "Escala de calificación" de Rasch ( Andrich 1978 ) es

\Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}-\delta _{i}-\tau _{k}})}}{\sum _{j=0}^{m}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}-\delta _{i}-\tau _{k}})}}}

dónde $\delta _{i}$ es la dificultad del elemento i y $\tau _{k}$ es la k -ésima ubicación del umbral de la escala de calificación, que es común a todos los ítems. m es la puntuación máxima y es idéntica para todos los ítems. $\tau _{0}$ Se elige por conveniencia computacional.

Solicitud

Aplicado en un contexto empírico determinado, el modelo puede considerarse una hipótesis matemática que establece que la probabilidad de un resultado dado es una función probabilística de los parámetros de la persona y del ítem. El gráfico que muestra la relación entre la probabilidad de una categoría determinada y la ubicación de la persona se denomina Curva de Probabilidad de Categoría (CPC). En la Figura 1 se muestra un ejemplo de las CPC para un ítem con cinco categorías, puntuadas de 0 a 4.

**Figura 1: Curvas de probabilidad de categoría de Rasch para un elemento con cinco categorías ordenadas.**

Un umbral determinado $\tau _{ki}$ divide el continuo en regiones por encima y por debajo de su ubicación. El umbral corresponde con la ubicación en un continuo latente en la que es igualmente probable que una persona sea clasificada en categorías adyacentes y, por lo tanto, obtenga una de dos puntuaciones sucesivas. El primer umbral del ítem i , $\tau _{1i}$ El primer umbral es el punto en el continuo donde una persona tiene la misma probabilidad de obtener una puntuación de 0 o 1; el segundo umbral es el punto donde una persona tiene la misma probabilidad de obtener una puntuación de 1 o 2, y así sucesivamente. En el ejemplo que se muestra en la Figura 1, los umbrales son -1,5 , -0,5 , 0,5 y 1,5 respectivamente.

Los encuestados pueden obtener puntuaciones de diversas maneras. Por ejemplo, cuando se utilizan formatos de respuesta Likert, se puede asignar 0 a " Totalmente en desacuerdo ", 1 a " En desacuerdo ", 2 a " De acuerdo " y 3 a " Totalmente de acuerdo ". En el contexto de la evaluación en psicología educativa , se pueden otorgar puntuaciones enteras progresivamente más altas según criterios o descripciones explícitas que caracterizan niveles crecientes de logro en un dominio específico, como la comprensión lectora . La característica común y central es que algún proceso debe dar como resultado la clasificación de cada individuo en una de un conjunto de categorías ordenadas que, en conjunto, conforman un ítem de evaluación.

Elaboración del modelo

Al detallar las características del modelo, Andrich (2005) aclara que su estructura implica un proceso de clasificación simultánea , que da como resultado una única respuesta manifiesta , y que involucra una serie de respuestas latentes dicotómicas. Además, las respuestas latentes dicotómicas operan dentro de una estructura de Guttman y un espacio de respuesta asociado, como se describe a continuación.

Dejar

Y_{nk}=y\in \{0,1\},k\in \{0,1,\dots ,m\}\,

sea un conjunto de variables aleatorias dicotómicas independientes. Andrich ( 1978 , 2005 ) muestra que el modelo de Rasch politómico requiere que estas respuestas dicotómicas se ajusten a un subespacio de respuesta de Guttman latente:

\Omega '\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{1,\dots,1,0,\dots,0\}

en la que x unos van seguidos de mx ceros. Por ejemplo, en el caso de dos umbrales, los patrones permisibles en este subespacio de respuesta son:

0,0\Leftrightarrow 0

1,0\Leftrightarrow 1

1,1\Leftrightarrow 2

donde la puntuación entera x implícita en cada patrón (y viceversa) es como se muestra. La razón por la que este subespacio está implícito en el modelo es la siguiente. Sea

P_{nxi}={\frac {\exp({\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}{1+\exp({\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}},\ k=x,\,

sea la probabilidad de que $Y_{nki}=1$ y dejar $Q_{nxi}=1-P_{nxi}$ Esta función tiene la estructura del modelo de Rasch para datos dicotómicos. A continuación, consideremos la siguiente probabilidad condicional en el caso de dos umbrales:

{\frac {P_{n1}Q_{n2}}{Q_{n1}Q_{n2}+P_{n1}Q_{n2}+P_{n1}P_{n2}}}.

Se puede demostrar que esta probabilidad condicional es igual a

{\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{1}(\beta _{n}}-{\tau _{k}})}}{1+\sum _{j=1}^{2}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{k}})}}}

que, a su vez, es la probabilidad $Pr\{X_{ni}=1\}$ dado por el modelo de Rasch politómico. Del denominador de estas ecuaciones, se puede ver que la probabilidad en este ejemplo está condicionada a los patrones de respuesta de $\{0,0\},\{1,0\},$ o $\{1,1\}$ Por lo tanto, es evidente que, en general, el subespacio de respuesta $\Omega '$ Como se definió anteriormente, es intrínseco a la estructura del modelo de Rasch politómico. Esta restricción en el subespacio es necesaria para justificar la puntuación entera de las respuestas: es decir, de modo que la puntuación sea simplemente el número de umbrales ordenados superados. Andrich (1978) demostró que la discriminación igual en cada uno de los umbrales también es necesaria para esta justificación.

En el modelo Rasch politómico, una puntuación de x en un ítem dado implica que un individuo ha superado simultáneamente x umbrales por debajo de una región determinada del continuo, y no ha superado los m − x umbrales restantes por encima de esa región. Para que esto sea posible, los umbrales deben estar en su orden natural, como se muestra en el ejemplo de la Figura 1. Las estimaciones de umbral desordenadas indican una falla en la construcción de un contexto de evaluación en el que las clasificaciones representadas por puntuaciones sucesivas reflejen niveles crecientes del rasgo latente. Por ejemplo, consideremos una situación en la que hay dos umbrales, y en la que la estimación del segundo umbral es menor en el continuo que la estimación del primero. Si las ubicaciones se toman literalmente, la clasificación de una persona en la categoría 1 implica que la ubicación de la persona supera simultáneamente el segundo umbral, pero no supera el primero. A su vez, esto implica un patrón de respuesta {0,1}, un patrón que no pertenece al subespacio de patrones intrínseco a la estructura del modelo, como se describió anteriormente.

Cuando las estimaciones de umbral están desordenadas, no pueden tomarse literalmente; más bien, el desorden, en sí mismo, indica inherentemente que las clasificaciones no satisfacen los criterios que lógicamente deben cumplirse para justificar el uso de puntuaciones enteras sucesivas como base de medición. Para enfatizar este punto, Andrich (2005) utiliza un ejemplo en el que se otorgan calificaciones de suspenso, aprobado, notable y sobresaliente. Estas calificaciones, o clasificaciones, generalmente pretenden representar niveles crecientes de logro. Consideremos a una persona A, cuya ubicación en el continuo latente se encuentra en el umbral entre las regiones del continuo en las que es más probable que se otorgue un aprobado y un notable. Consideremos también a otra persona B, cuya ubicación se encuentra en el umbral entre las regiones en las que es más probable que se otorgue un notable y un sobresaliente. En el ejemplo considerado por Andrich (2005 , p. 25) , los umbrales desordenados, si se tomaran literalmente, implicarían que la ubicación de la persona A (en el umbral de aprobado/notable) es más alta que la de la persona B (en el umbral de notable/sobresaliente). Es decir, tomado literalmente, la ubicación desordenada de los umbrales implicaría que una persona necesitaría demostrar un nivel de logro superior para alcanzar el umbral de aprobado/crédito que el necesario para alcanzar el umbral de crédito/sobresaliente. Claramente, esto contradice la intención de dicho sistema de calificación. Por lo tanto, el desorden en los umbrales indicaría que la forma en que se otorgan las calificaciones no concuerda con la intención del sistema. Es decir, el desorden indicaría que la hipótesis implícita en el sistema de calificación —que las calificaciones representan clasificaciones ordenadas de rendimiento creciente— no se ve respaldada por la estructura de los datos empíricos.

Referencias

Rasch, G. (1961). "Sobre las leyes generales y el significado de la medición en psicología" (PDF) . Actas del IV Simposio de Berkeley sobre Estadística Matemática y Probabilidad . 4 : 321–333 .
Andersen, EB (1977). "Estadísticas suficientes y modelos de rasgos latentes" . Psychometrika . 42 : 69–81 . doi : 10.1007/BF02293746 .
Andrich, D. (1978). "Una formulación de calificación para categorías de respuesta ordenadas" . Psychometrika . 43 : 561–73 . doi : 10.1007/BF02293814 .
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Rasch, G. (1980) [1960]. Modelos probabilísticos para algunas pruebas de inteligencia y rendimiento . Prólogo y epílogo de BD Wright ( Edición ampliada). Chicago: The University of Chicago Press. ISBN 978-0226705538.
von Davier, M.; Rost, J. (1995). "Modelos politómicos mixtos de Rasch". En Fischer, GH; Molenaar, IW (eds.). Modelos Rasch: fundamentos, desarrollos recientes y aplicaciones . Nueva York: Springer. págs. 371-379 . doi : 10.1007/978-1-4612-4230-7_20 . ISBN 0-387-94499-0.
von Davier, M. (2014). «Modelos politómicos de Rasch». En Michalos, AC (ed.). Enciclopedia de la investigación sobre la calidad de vida y el bienestar . Dordrecht: Springer. doi : 10.1007/978-94-007-0753-5_2412 . ISBN 978-94-007-0753-5.
Wright, BD; Masters, GN (1982). Análisis de escalas de calificación (PDF) . Chicago: MESA Press. ISBN 0-941938-01-8.

Enlaces externos

Umbrales desordenados e información de los elementos
Desordenamiento de categorías y desordenamiento de umbrales
Andrich sobre umbrales desordenados y "escalones"
Directorio de Rasch Software: software gratuito y de pago.
Instituto de Medición Objetiva
Análisis de Rasch . Archivado del original el 25 de agosto de 2009.
Modelo de Rasch en Stata