campo polivectorial

En geometría diferencial , un campo en matemáticas , un campo multivectorial , campo polivectorial de grado${\displaystyle k}$, o${\displaystyle k}$campo vectorial , en una variedad suave${\displaystyle M}$es una generalización de la noción de campo vectorial en una variedad.

Un campo multivectorial de grado${\displaystyle k}$es una sección global${\displaystyle X}$de la k- ésima potencia exterior${\displaystyle \wedge ^{k}TM\to M}$del fibrado tangente , es decir${\displaystyle X}$asigna a cada punto${\displaystyle p\in M}$asigna una${\displaystyle k}$- vector en${\displaystyle \Lambda ^{k}T_{p}M}$.

El conjunto de todos los campos multivectoriales de grado${\displaystyle k}$en${\displaystyle M}$se denota por${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{k}(M):=\Gamma (\wedge ^{k}TM)}$o por${\displaystyle T_{\rm {poly}}^{k}(M)}$.

El conjunto${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{k}(M)}$de campos multivectoriales es un${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacio vectorial para cada${\displaystyle k}$, de modo que${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k}{\mathfrak {X}}^{k}(M)}$es un espacio vectorial graduado .

Además, existe un producto en forma de cuña.

$${\displaystyle \wedge$$ :{\mathfrak {X}}^{k}(M)\times {\mathfrak {X}}^{l}(M)\to {\mathfrak {X}}^{k+l}(M)}

que para${\displaystyle k=0}$y${\displaystyle l=1}$recupera la acción estándar de funciones suaves sobre campos vectoriales. Dicho producto es asociativo y conmutativo graduado, lo que hace que${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),\wedge )}$en un álgebra conmutativa graduada .

De manera similar, el corchete de Lie de campos vectoriales se extiende al llamado corchete de Schouten-Nijenhuis.

$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {X}}^{k}(M)\times {\mathfrak {X}}^{l}(M)\to {\mathfrak {X}}^{k+l-1}(M)}$$

que es${\displaystyle \mathbb {R} }$-bilineal, antisimétrica graduada y satisface la versión graduada de la identidad de Jacobi. Además, satisface una versión graduada de la identidad de Leibniz, es decir, es compatible con el producto exterior, lo que hace que la triple${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),\wedge ,[\cdot ,\cdot ])}$en un álgebra de Gerstenhaber .

Dado que el fibrado tangente es dual al fibrado cotangente , los campos multivectoriales de grado${\displaystyle k}$son duales a${\displaystyle k}$- formas , y ambas están subsumidas en el concepto general de un campo tensorial , que es una sección de algún fibrado tensorial , que a menudo consiste en potencias exteriores de los fibrados tangente y cotangente.${\displaystyle (k,0)}$El campo tensorial es una diferencial${\displaystyle k}$-forma, una${\displaystyle (0,1)}$El campo tensorial es un campo vectorial y un${\displaystyle (0,k)}$-campo tensorial es${\displaystyle k}$-campo vectorial.

Si bien las formas diferenciales se estudian ampliamente como tales en geometría diferencial y topología diferencial , los campos multivectoriales se encuentran a menudo como campos tensoriales de tipo${\displaystyle (0,k)}$, excepto en el contexto del álgebra geométrica (véase también álgebra de Clifford ). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

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