Punta Poncelet

En geometría , el punto Poncelet de cuatro puntos dados se define de la siguiente manera:

Sean A, B, C y D cuatro puntos en el plano que no forman un sistema ortocéntrico, de modo que no haya tres de ellos colineales . Los círculos de nueve puntos de los triángulos △ ABC , △ BCD , △ CDA y △ DAB se intersecan en un punto, el punto Poncelet de los puntos A, B, C y D. (Si A, B, C y D formaran un sistema ortocéntrico, entonces los triángulos △ ABC , △ BCD , △ CDA y △ DAB comparten el mismo círculo de nueve puntos, y el punto Poncelet quedaría indefinido).

Si A, B, C y D no se encuentran sobre una circunferencia, el punto de Poncelet formado por A, B, C y D se sitúa sobre la circunferencia circunscrita al triángulo pedal de D con respecto al triángulo △ ABC y sobre las demás circunferencias análogas. (Si se encuentran sobre una circunferencia, entonces esos triángulos pedales serán rectas; concretamente, la recta de Simson de D con respecto al triángulo △ ABC y las demás rectas de Simson análogas. En ese caso, dichas rectas siguen coincidiendo en el punto de Poncelet, que también será el anticentro del cuadrilátero cíclico cuyos vértices son A, B, C y D ).

El punto Poncelet de A, B, C, D se encuentra en la circunferencia que pasa por la intersección de las líneas AB y CD , la intersección de las líneas AC y BD , y la intersección de las líneas AD y BC (suponiendo que todas estas intersecciones existen).

El punto de Poncelet de A, B, C, D es el centro de la hipérbola rectangular única que pasa por A, B, C, D. En el caso de que A, B, C, D formen un sistema ortocéntrico y el punto de Poncelet no esté definido, existe en su lugar una familia de hipérbolas rectangulares que pasan por A, B, C, D , y el círculo común de nueve puntos es el lugar geométrico de sus centros. ^{[ 1 ]}

• Vonk, Jan (2009), "El punto de Feuerbach y reflexiones de la línea de Euler" ( PDF) , Forum Geometricorum , 9 : 47–55
• Puntos de Poncelet y conjugados antigonales.