Principio máximo de Pontryagin

El principio del máximo de Pontryagin se utiliza en la teoría del control óptimo para encontrar el mejor control posible para llevar un sistema dinámico de un estado a otro, especialmente en presencia de restricciones para los controles de estado o de entrada. Este principio establece que es necesario que cualquier control óptimo, junto con la trayectoria de estado óptima, resuelva el llamado sistema hamiltoniano, que es un problema de valores en la frontera de dos puntos , más una condición de máximo del hamiltoniano de control . ^{[ a ]} ​​Estas condiciones necesarias se vuelven suficientes bajo ciertas condiciones de convexidad en las funciones objetivo y de restricción. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El principio del máximo fue formulado en 1956 por el matemático ruso Lev Pontryagin y sus estudiantes, ^{[ 3 ] [ 4 ]} y su aplicación inicial fue a la maximización de la velocidad terminal de un cohete. ^{[ 5 ]} El resultado se derivó utilizando ideas del cálculo de variaciones clásico . ^{[ 6 ]} Después de una ligera perturbación del control óptimo, se considera el término de primer orden de una expansión de Taylor con respecto a la perturbación; al hacer que la perturbación sea cero, se obtiene una desigualdad variacional de la cual se deduce el principio del máximo. ^{[ 7 ]}

Considerado un hito en la teoría del control óptimo , la importancia del principio del máximo radica en que maximizar el hamiltoniano es mucho más sencillo que el problema de control original de dimensión infinita; en lugar de maximizar sobre un espacio de funciones , el problema se transforma en una optimización puntual . ^{[ 8 ]} Una lógica similar conduce al principio de optimalidad de Bellman , un enfoque relacionado con los problemas de control óptimo que establece que la trayectoria óptima permanece óptima en puntos intermedios en el tiempo. ^{[ 9 ]} La ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman resultante proporciona una condición necesaria y suficiente para un óptimo, y admite una extensión directa a problemas de control óptimo estocástico, mientras que el principio del máximo no. ^{[ 7 ]} Sin embargo, a diferencia de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman, que debe cumplirse sobre todo el espacio de estados para ser válida, el principio del máximo de Pontryagin es potencialmente más eficiente computacionalmente, ya que las condiciones que especifica solo necesitan cumplirse sobre una trayectoria particular.

Para el conjunto${\displaystyle {\mathcal {U}}}$y funciones

${\displaystyle \Psi$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } ,

${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,

${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} }$,

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} ^{n}}$,

Utilizamos la siguiente notación:

${\displaystyle \Psi _{T}(x(T))=\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}\right|_{x=x(T)}\,}$,

${\displaystyle \Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x(T)}&\cdots &\left.{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &\left.{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\right|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$.

Aquí se muestran las condiciones necesarias para la minimización de un funcional.

Consideremos un sistema dinámico n-dimensional , con variable de estado${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$y variable de control${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es el conjunto de controles admisibles. La evolución del sistema está determinada por el estado y el control, según la ecuación diferencial.${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}$. Sea el estado inicial del sistema${\displaystyle x_{0}}$y que la evolución del sistema sea controlada durante el período de tiempo con valores${\displaystyle t\in [0,T]}$Esto último se determina mediante la siguiente ecuación diferencial :

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in [0,T]}$

La trayectoria de control${\displaystyle u:[0,T]\to {\mathcal {U}}}$debe elegirse de acuerdo con un objetivo. El objetivo es funcional.${\displaystyle J}$definido por

${\displaystyle J=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L{\big (}x(t),u(t){\big )}\,dt}$,

dónde${\displaystyle L(x,u)}$puede interpretarse como la tasa de costo para ejercer control${\displaystyle u}$en el estado${\displaystyle x}$, y${\displaystyle \Psi (x)}$puede interpretarse como el costo de terminar en el estado${\displaystyle x}$. La elección específica de${\displaystyle L,\Psi }$Depende de la aplicación.

Las restricciones sobre la dinámica del sistema pueden adjuntarse al lagrangiano.${\displaystyle L}$mediante la introducción de un vector multiplicador de Lagrange variable en el tiempo${\displaystyle \lambda }$, cuyos elementos se denominan coestados del sistema. Esto motiva la construcción del hamiltoniano${\displaystyle H}$definido para todos${\displaystyle t\in [0,T]}$por:

${\displaystyle H{\big (}x(t),u(t),\lambda (t),t{\big )}=\lambda ^{\rm {T}}(t)\cdot f{\big (}x(t),u(t){\big )}+L{\big (}x(t),u(t){\big )}}$

dónde${\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}}$es la transpuesta de${\displaystyle \lambda }$.

El principio mínimo de Pontryagin establece que la trayectoria de estado óptima${\displaystyle x^{*}}$control óptimo${\displaystyle u^{*}}$y el vector multiplicador de Lagrange correspondiente${\displaystyle \lambda ^{*}}$debe minimizar el hamiltoniano${\displaystyle H}$de modo que

para siempre${\displaystyle t\in [0,T]}$y para todas las entradas de control permitidas${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$Aquí, la trayectoria del vector multiplicador de Lagrange.${\displaystyle \lambda }$es la solución a la ecuación coestado :

Las condiciones de contorno dependen de si el estado final${\displaystyle x(T)}$y tiempo final${\displaystyle T}$están fijas. Estas condiciones se encuentran observando cómo funciona${\displaystyle J}$(diferencialmente) varía cuando${\displaystyle x(T)}$y${\displaystyle T}$son (diferencialmente) variados. Suponiendo que el estado final y el tiempo son independientes entre sí,${\displaystyle x(T)}$El hecho de que no se haya solucionado da como resultado la condición

y${\displaystyle T}$El hecho de que no se haya solucionado da como resultado la condición

Estas cuatro condiciones en (1)-(4) son las condiciones necesarias para un control óptimo.

• Multiplicadores de Lagrange en espacios de Banach , método lagrangiano en cálculo de variaciones

• Geering, HP (2007). Control óptimo con aplicaciones de ingeniería . Springer. ISBN 978-3-540-69437-3.
• Kirk, DE (1970). Teoría del control óptimo: una introducción . Prentice Hall. ISBN 0-486-43484-2.
• Lee, EB; Markus, L. (1967). Fundamentos de la teoría del control óptimo . Nueva York: Wiley.
• Seierstad, Atle; Sydsæter, Knut (1987). Teoría del control óptimo con aplicaciones económicas . Ámsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-87923-4.

• "Principio máximo de Pontryagin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]