La desigualdad de Popoviciu

En análisis convexo , la desigualdad de Popoviciu es una desigualdad sobre funciones convexas . Es similar a la desigualdad de Jensen y fue hallada en 1965 por Tiberiu Popoviciu , ^{[ 1 ] [ 2 ]} un matemático rumano .

Sea f una función de un intervalo${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$a${\displaystyle \mathbb {R} }$. Si f es convexa , entonces para cualesquiera tres puntos x , y , z en I ,

${\displaystyle {\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)\geq {\frac {2}{3}}\left[f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\right)+f\left({\frac {z+x}{2}}\right)\right].}$

Si una función f es continua , entonces es convexa si y solo si la desigualdad anterior se cumple para todo x , y , z desde  ${\displaystyle I}$. Cuando f es estrictamente convexa, la desigualdad es estricta excepto para x = y = z . ^{[ 3 ]}     

Se puede generalizar a cualquier número finito n de puntos en lugar de  3, tomados en el lado derecho k a la vez en lugar de 2 a la vez: ^{[ 4 ]}

Sea f una función continua de un intervalo${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$a${\displaystyle \mathbb {R} }$. Entonces f es convexa si y solo si, para cualesquiera enteros n y k donde n ≥ 3 y${\displaystyle 2\leq k\leq n-1}$y cualesquiera n puntos${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$de mí ,

${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\binom {n-2}{k-2}}\left({\frac {nk}{k-1}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})+nf\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\right)\geq \sum _{1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n}f\left({\frac {1}{k}}\sum _{j=1}^{k}x_{i_{j}}\right)}$

^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

La desigualdad de Popoviciu también puede generalizarse a una desigualdad ponderada. ^{[ 9 ]}

Sea f una función continua de un intervalo${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$a${\displaystyle \mathbb {R} }$. Dejar${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ser tres puntos de${\displaystyle I}$y dejar${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$sean tres números reales no negativos tales que${\displaystyle w_{2}+w_{3}\neq 0,w_{3}+w_{1}\neq 0}$y${\displaystyle w_{1}+w_{2}\neq 0}$. Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}&w_{1}f\left(x_{1}\right)+w_{2}f\left(x_{2}\right)+w_{3}f\left(x_{3}\right)+\left(w_{1}+w_{2}+w_{3}\right)f\left({\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+w_{3}x_{3}}{w_{1}+w_{2}+w_{3}}}\right)\\&\geq \left(w_{2}+w_{3}\right)f\left({\frac {w_{2}x_{2}+w_{3}x_{3}}{w_{2}+w_{3}}}\right)+\left(w_{3}+w_{1}\right)f\left({\frac {w_{3}x_{3}+w_{1}x_{1}}{w_{3}+w_{1}}}\right)+\left(w_{1}+w_{2}\right)f\left({\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}}{w_{1}+w_{2}}}\right)\end{aligned}}}$