Teorema del bagel con semillas de amapola

En física , el teorema del bagel de semillas de amapola se refiere a partículas que interactúan (por ejemplo, electrones ) confinadas a una superficie (o cuerpo) delimitada .${\displaystyle A}$cuando las partículas se repelen entre sí por pares con una magnitud proporcional a la inversa de la distancia entre ellas elevada a alguna potencia positiva.${\displaystyle s}$En particular, esto incluye la ley de Coulomb observada en electrostática y los potenciales de Riesz ampliamente estudiados en la teoría del potencial . Otras clases de potenciales, que no necesariamente involucran el núcleo de Riesz, por ejemplo las interacciones entre vecinos más cercanos, también se describen mediante este teorema en el régimen macroscópico. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Para${\displaystyle N}$tales partículas, un estado de equilibrio estable, que depende del parámetro${\displaystyle s}$, se alcanza cuando la energía potencial asociada del sistema es mínima (el llamado problema generalizado de Thomson ). Para un gran número de puntos, estas configuraciones de equilibrio proporcionan una discretización de${\displaystyle A}$que puede o no ser casi uniforme con respecto al área de superficie (o volumen ) de${\displaystyle A}$El teorema del bagel de semillas de amapola afirma que para una gran clase de conjuntos${\displaystyle A}$La propiedad de uniformidad se cumple cuando el parámetro${\displaystyle s}$es mayor o igual que la dimensión del conjunto${\displaystyle A}$. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, cuando los puntos (" semillas de amapola ") están confinados a la superficie bidimensional de un toro incrustado en 3 dimensiones (o "superficie de un bagel "), se puede crear una gran cantidad de puntos que están distribuidos de manera casi uniforme en la superficie imponiendo una repulsión proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre los puntos, o cualquier repulsión más fuerte (${\displaystyle s\geq 2}$Desde una perspectiva culinaria, para crear el bagel de semillas de amapola casi perfecto, donde bocados de igual tamaño en cualquier parte del bagel contengan esencialmente la misma cantidad de semillas de amapola, se debe imponer una fuerza repulsiva sobre las semillas de al menos el inverso del cuadrado de la distancia.

Para un parámetro${\displaystyle s>0}$y un${\displaystyle N}$-conjunto de puntos${\displaystyle \omega _{N}=\{x_{1},\ldots ,x_{N}\}\subset \mathbb {R} ^{p}}$, el${\displaystyle s}$-energía de${\displaystyle \omega _{N}}$se define de la siguiente manera: $${\displaystyle E_{s}(\omega _{N}):=\sum _{\stackrel {1\leq i,j\leq N}{i\not =j}}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|^{s}}}}$$ Para un conjunto compacto${\displaystyle A}$definimos su mínimo${\displaystyle N}$-punto${\displaystyle s}$-energía como $${\displaystyle {\mathcal {E}}_{s}(A,N):=\min E_{s}(\omega _ {N}),}$$donde se toma el mínimo sobre todos${\displaystyle N}$subconjuntos de puntos de${\displaystyle A}$; es decir,${\displaystyle \omega _{N}\subset A}$Configuraciones${\displaystyle \omega _{N}}$Los que alcanzan este ínfimo se llaman${\displaystyle N}$-punto${\displaystyle s}$-configuraciones de equilibrio .

Consideramos conjuntos compactos${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{p}}$con la medida Lebesgue${\displaystyle \lambda (A)>0}$y${\displaystyle s\geqslant p}$. Por cada${\displaystyle N\geqslant 2}$arreglar un${\displaystyle N}$-punto${\displaystyle s}$-configuración de equilibrio${\displaystyle \omega _{N}^{*}=\{x_{1,N},\ldots ,x_{N,N}\}}$. Colocar $${\displaystyle \mu _{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1,\ldots ,N}\delta _{x_{i,N}},}$$ dónde${\displaystyle \delta _{x}}$es una masa puntual unitaria en el punto${\displaystyle x}$. Bajo estos supuestos, en el sentido de convergencia débil de medidas , $${\displaystyle \mu _{N}{\stackrel {*}{\rightarrow }}\mu ,}$$ dónde${\displaystyle \mu }$¿La medida Lebesgue se limita a?${\displaystyle A}$; es decir,${\displaystyle \mu (B)=\lambda (A\cap B)/\lambda (A)}$Además, es cierto que $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}(A,N)}{N^{1+s/p}}}={\frac {C_{s,p}}{\lambda (A)^{s/p}}},}$$ donde la constante${\displaystyle C_{s,p}}$no depende del conjunto${\displaystyle A}$y, por lo tanto, $${\displaystyle C_{s,p}=\lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}([0,1]^{p},N)}{N^{1+s/p}}},}$$ dónde${\displaystyle [0,1]^{p}}$es el cubo unitario en${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$.

Casi mínimo${\displaystyle s}$-configuraciones de energía de 1000 puntos en un toro (${\displaystyle d=2}$)

${\displaystyle s=0.01<d}$

${\displaystyle s=1<d}$

${\displaystyle s=2=d}$

Considere un suave${\displaystyle d}$variedad dimensional${\displaystyle A}$incrustado en${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$y denotemos su medida de superficie por${\displaystyle \sigma }$Suponemos que${\displaystyle \sigma (A)>0}$. Asumir${\displaystyle s\geqslant d}$ Como antes, para cada${\displaystyle N\geqslant 2}$arreglar un${\displaystyle N}$-punto${\displaystyle s}$-configuración de equilibrio${\displaystyle \omega _{N}^{*}=\{x_{1,N},\ldots ,x_{N,N}\}}$y establecer $${\displaystyle \mu _{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1,\ldots ,N}\delta _{x_{i,N}}.}$$ Entonces, ^{[ 4 ] [ 5 ]} en el sentido de convergencia débil de medidas , $${\displaystyle \mu _{N}{\stackrel {*}{\rightarrow }}\mu ,}$$ dónde${\displaystyle \mu (B)=\sigma (A\cap B)/\sigma (A)}$. Si${\displaystyle H^{d}}$es el${\displaystyle d}$Medida de Hausdorff -dimensional normalizada de modo que${\displaystyle H^{d}([0,1]^{d})=1}$, entonces ^{[ 4 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {{\mathcal {E}}_{s}(A,N)}{N^{1+s/d}}}=2^{s}\alpha _{d}^{-s/d}\cdot {\frac {C_{s,d}}{(H^{d}(A))^{s/d}}},}$$ dónde${\displaystyle \alpha _ {d}=\pi ^{d/2}/\Gamma (1+d/2)}$es el volumen de una d-ball .

Para${\displaystyle p=1}$, se sabe ^{[ 6 ]} que${\displaystyle C_{s,1}=2\zeta (s)}$, dónde${\displaystyle \zeta (s)}$es la función zeta de Riemann . Utilizando un enfoque de forma modular para la programación lineal , Viazovska junto con coautores establecieron en un artículo de 2022 que en dimensiones${\displaystyle p=8}$y${\displaystyle p=24}$, los valores de${\displaystyle C_{s,p}}$,${\displaystyle s>p}$, vienen dadas por la función zeta de Epstein ^{[ 7 ]} asociada con la${\displaystyle E_{8}}$red y red de Leech , respectivamente. ^{[ 8 ]} Se conjetura que para${\displaystyle p=2}$, el valor de${\displaystyle C_{s,p}}$se determina de manera similar como el valor de la función zeta de Epstein para la red hexagonal . Finalmente, en cada dimensión${\displaystyle p\geq 1}$Se sabe que cuando${\displaystyle s=p}$, la escala de${\displaystyle {\mathcal {E}}_{s}(A,N)}$se convierte${\displaystyle N^{2}\log N}$en vez de${\displaystyle N^{2}=N^{1+s/p}}$y el valor de${\displaystyle C_{s,p}}$se puede calcular explícitamente como el volumen de la unidad${\displaystyle p}$-bola dimensional : ^{[ 4 ]}$${\displaystyle C_{s,p}=H^{p}({\mathcal {B}}^{p})={\frac {\pi ^{p/2}}{\Gamma (1+p/2)}}.}$$ La siguiente conexión entre la constante${\displaystyle C_{s,p}}$y el problema del empaquetamiento de esferas es conocido: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \lim _{s\to \infty }(C_{s,p})^{1/s}={\frac {1}{s}}\left({\frac {\alpha _{p}}{\Delta _{p}}}\right)^{1/p},}$$ dónde${\displaystyle \alpha _{p}}$es el volumen de una p-bola y $${\displaystyle \Delta _{p}=\sup \rho ({\mathcal {P}}),}$$donde el supremo es tomado sobre todas las familias${\displaystyle {\mathcal {P}}}$de bolas unitarias no superpuestas de tal manera que el límite $${\displaystyle \rho ({\mathcal {P}})=\lim _{r\to \infty }{\frac {\lambda \left([-r,r]^{p}\cap \bigcup _{B\in {\mathcal {P}}}B\right)}{(2r)^{p}}}}$$ existe.

• Dimensión de Hausdorff
• teoría de la medida geométrica
• Empaquetamiento de esferas
• Función zeta de Riemann