Porismo

Un porismo es una proposición o corolario matemático . Se ha utilizado para referirse a una consecuencia directa de una demostración , de forma análoga a como un corolario se refiere a una consecuencia directa de un teorema . En el uso moderno, es una relación que se cumple para un rango infinito de valores, pero solo si se asume una determinada condición, como el porismo de Steiner . ^{[ 1 ]} El término tiene su origen en tres libros de Euclides que se han perdido. Una proposición puede no haber sido demostrada, por lo que un porismo puede no ser un teorema ni ser verdadero.

El primer libro que trata sobre porismos es el Porismos de Euclides . Lo que se sabe de él se encuentra en la Colección de Papo de Alejandría , quien lo menciona junto con otros tratados geométricos y proporciona varios lemas necesarios para su comprensión. ^{[ 2 ]} Papo afirma:

Los porismos de todas las clases no son ni teoremas ni problemas, sino que ocupan una posición intermedia entre ambos, de modo que sus enunciados pueden enunciarse como teoremas o problemas, y, en consecuencia, algunos geómetras piensan que son teoremas y otros que son problemas, guiándose únicamente por la forma del enunciado. Pero de las definiciones se desprende claramente que los geómetras antiguos comprendían mejor la diferencia entre las tres clases. Los geómetras antiguos consideraban que un teorema se dirigía a demostrar lo que se proponía, un problema a construir lo que se proponía y, finalmente, un porismo a hallar lo que se proponía ( εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου ). ^{[ 2 ]}

Pappus dijo que la última definición fue modificada por ciertos geómetras posteriores, quienes definieron un porismo como una característica accidental como τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος ( to leîpon hypothései topikoû theōrḗmatos ), aquello que no cumple con un teorema de lugar geométrico por una hipótesis (o en ella). Proclo señaló que la palabra porismo se usaba en dos sentidos: uno es el de "corolario", como resultado no buscado pero que se deduce de un teorema. En el otro sentido, no añadió nada a la definición de "los geómetras antiguos", excepto decir que el hallazgo del centro de un círculo y el hallazgo de la máxima medida común son porismos. ^{[ 3 ] [ 2 ]}

Pappus rechazó la definición de porismo de Euclides . Un porismo, expresado en lenguaje moderno, afirma que dadas cuatro líneas rectas, tres de las cuales giran alrededor de los puntos en que se encuentran con la cuarta, si dos de los puntos de intersección de estas líneas se encuentran cada uno sobre una línea recta fija, el punto de intersección restante también se encontrará sobre otra línea recta. La definición general se aplica a cualquier número, n , de líneas rectas, de las cuales n pueden girar alrededor de tantos puntos fijos en el ( n  +  1)-ésimo. Estas n líneas rectas dividen dos y dos en 1/2 n ( n − 1 ) puntos, siendo 1/2 n ( n − 1) un número triangular cuyo lado es n − 1. Si se hacen girar alrededor de los n puntos fijos de manera que cualesquiera n − 1 de sus 1/2 n ( n − 1 ) puntos de intersección , elegidos sujetos a cierta limitación, se encuentren sobre n − 1 líneas rectas fijas dadas, entonces cada uno de los puntos de intersección restantes, 1/2 n ( n − 1)( n − 2 ) en número, describe una línea recta. ^{[ 2 ]}                

Lo anterior se puede expresar como: Si alrededor de dos puntos fijos, P y Q, se traza un giro de dos líneas rectas que se encuentran en una línea recta dada, L, y si una de ellas corta un segmento, AM, de una línea recta fija, AX, dada en posición, se puede determinar otra línea recta fija BY y un punto B fijo en ella, de tal manera que el segmento BM' formado por la segunda línea móvil sobre esta segunda línea fija, medido desde B, tenga una razón dada X a AM. Los lemas que Pappus da en relación con los porismos son:

1. el teorema fundamental que establece que la razón anarmónica o cruzada de un haz de cuatro líneas rectas que se encuentran en un punto es constante para todas las transversales;
2. la demostración de las propiedades armónicas de un cuadrilátero completo;
3. el teorema que dice que, si los seis vértices de un hexágono se encuentran tres y tres sobre dos líneas rectas, los tres puntos de la intersección de lados opuestos se encuentran sobre una línea recta. ^{[ 2 ]}

Robert Simson explicó las únicas tres proposiciones que Pappus indica de manera completa, lo cual fue publicado en Philosophical Transactions en 1723. Posteriormente investigó el tema de los porismos en general en una obra titulada De porismatibus tractatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor , y publicado tras su muerte en un volumen, Roberti Simson opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776). ^{[ 4 ]}

El tratado de Simson, De porismatibus , comienza con las definiciones de teorema, problema, dato, porismo y lugar geométrico. Simon escribió que la definición de Pappus es demasiado general y que la sustituyó por la siguiente:

Porisma est propositio in qua proponitur demonstrare rem aliquam, vel plures datas esse, cui, vel quibus, ut et cuilibet ex rebus innumeris, non quidem datis, sed quae ad ea quae data sunt eandem habent rationem, convenire ostendendum est afectom quandam communem in propositione descriptam. Porisma etiam in forma problematis enuntiari potest, si nimirum ex quibus data demonstranda sunt, invenienda proponantur.

Simson afirmó que un locus es una especie de porismo. A continuación, se presenta una traducción al latín de la nota de Pappus sobre los porismos y las proposiciones que constituyen la mayor parte del tratado. ^{[ 4 ]}

Las memorias de John Playfair ( Trans. Roy. Soc. Edin. , 1794, vol. iii), una especie de continuación del tratado de Simson, exploraron el probable origen de los porismos, o los pasos que llevaron a los geómetras antiguos a descubrirlos. Playfair señaló que la investigación cuidadosa de todos los casos particulares posibles de una proposición demostraría que

1. En determinadas condiciones, un problema se vuelve imposible;
2. bajo ciertas otras condiciones, indeterminado o capaz de un número infinito de soluciones.

Estos casos podían definirse por separado, eran de alguna manera intermedios entre teoremas y problemas, y se denominaban "porismos". Playfair definió un porismo como "[una] proposición que afirma la posibilidad de encontrar condiciones que hagan que un problema determinado sea indeterminado o susceptible de innumerables soluciones". ^{[ 4 ]}

Aunque la definición de porismo de Playfair parece ser la más aceptada en Inglaterra, la opinión de Simson ha sido la más generalizada en el extranjero y contó con el apoyo de Michel Chasles . Sin embargo, en el Journal de mathematiques pures et appliquées de Liouville (vol. xx, julio de 1855), P. Breton publicó Recherches nouvelles sur les porismes d'Euclide , en la que ofreció una nueva traducción del texto de Pappus y buscó fundamentar una visión de la naturaleza del porismo que se ajustara más a la definición de Pappus. A esto le siguió, en la misma revista y en La Science, una controversia entre Breton y A.J.H. Vincent, quien disputó la interpretación que el primero dio del texto de Pappus y se declaró a favor de la idea de Frans van Schooten , expuesta en sus Mathematicae exercitationes (1657). Según Schooten, si las diversas relaciones entre las líneas rectas de una figura se escriben en forma de ecuaciones o proporciones, entonces la combinación de estas ecuaciones de todas las maneras posibles, y de las nuevas ecuaciones que se derivan de ellas, conduce al descubrimiento de innumerables propiedades nuevas de la figura. ^{[ 4 ]}

Las discusiones entre Breton y Vincent, a las que se unió C. Housel, no dieron continuidad a la restauración de los Porismos de Euclides , que quedó a cargo de Chasles. Su obra ( Les Trois livres de porismes d'Euclide , París, 1860) aprovecha al máximo todo el material hallado en Pappus. ^{[ 4 ]}

Una hipótesis interesante sobre los porismos fue planteada por H.G. Zeuthen ( Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum , 1886, cap. viii). Zeuthen observó, por ejemplo, que el porismo de intersección sigue siendo cierto si los dos puntos fijos son puntos de una cónica y las líneas rectas trazadas a través de ellos se intersecan en la cónica en lugar de en una línea recta fija. Conjeturó que los porismos eran un subproducto de una geometría proyectiva de cónicas completamente desarrollada. ^{[ 4 ]}

• Porismo de Poncelet
• porismo de Steiner

• Alexander Jones (1986) Libro 7 de la Colección , parte 1: introducción, texto, traducción ISBN 0-387-96257-3, parte 2: comentarios, índice, figuras ISBN 3-540-96257-3, Springer-Verlag .
• Litterargeschichtliche Studien über Euklid de JL Heiberg (Leipzig, 1882) Se incluye un valioso capítulo sobre los porismos (desde un punto de vista filológico ).
• Agosto Richter. Porismen nach Simson Bearbeitet (Elbing, 1837)
• M. Cantor , "Über die Porismen des Euklid and deren Divinatoren", en Schlomilch 's Zeitsch. F. Matemáticas. Ud. Phy. (1857) y Literaturzeitung (1861), pág.  3 seg.
• Th. Leidenfrost , Die Porismen des Euklid ( Programm der Realschule zu Weimar , 1863)
• John J. Milne (1911) Un tratado elemental sobre geometría de razón cruzada con notas históricas , página 115, Cambridge University Press .
• P. Buch-binder , Euclids Porismen und Data ( Programm der kgl. Landesschule Pforta , 1866).

Atribución:

• Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público : Heath, Thomas Little (1911). " Porismo ". En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . Vol. 22 (11.ª ed.). Cambridge University Press. pp. 102–103 .