Fórmula porteosa

En matemáticas , la fórmula de Porteous , o fórmula de Thom-Porteous , o fórmula de Giambelli-Thom-Porteous , es una expresión para la clase fundamental de un lugar geométrico de degeneración (o variedad determinante ) de un morfismo de fibrados vectoriales en términos de clases de Chern . La fórmula de Giambelli es aproximadamente el caso especial en el que los fibrados vectoriales son sumas de fibrados lineales sobre el espacio proyectivo. Thom  (1957) señaló que la clase fundamental debe ser un polinomio en las clases de Chern y encontró este polinomio en algunos casos especiales, y Porteous  (1971) encontró el polinomio en general. Kempf y Laksov (1974) demostraron una versión más general, y Fulton (1992) la generalizaron aún más.

Dado un morfismo de fibrados vectoriales E , F de rangos m y n sobre una variedad suave, su k -ésimo lugar geométrico de degeneración ( k ≤ min( m , n )) es la variedad de puntos donde tiene rango como máximo  k . Si todos los componentes del lugar geométrico de degeneración tienen la codimensión esperada ( m  –  k )( n  –  k ), entonces la fórmula de Porteous establece que su clase fundamental es el determinante de la matriz de tamaño m  –  k cuya entrada ( i ,  j ) es la clase de Chern c _{n – k + j – i} ( F  –  E ).

• Fulton, William (1992), "Banderas, polinomios de Schubert, lugares de degeneración y fórmulas determinantes", Duke Mathematical Journal , 65 (3): 381–420, doi :10.1215/S0012-7094-92-06516-1, ISSN  0012-7094, MR  1154177
• Kempf, G.; Laksov, D. (1974), "La fórmula determinante del cálculo de Schubert", Acta Mathematica , 132 : 153–162, doi : 10.1007/BF02392111 , ISSN  0001-5962, MR  0338006
• Porteous, Ian R. (1971) [1962], "Singularidades simples de mapas", Actas del Simposio de Singularidades de Liverpool, I (1969/70) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 192, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 286–307, doi :10.1007/BFb0066829, ISBN 978-3-540-05402-3, Sr.  0293646
• Thom, René (1957), Les ensembles singuliers d'une application différentiable et leurs propriétés homologiques , Séminaire de Topologie de Estrasburgo