Votación posicional

El voto posicional es un sistema electoral de votación por rangos en el que las opciones o candidatos reciben puntos según su posición en cada papeleta y gana quien obtenga la mayor cantidad de puntos en total. ^[¹^] La preferencia de menor rango en cualquier par adyacente suele tener menos valor que la de mayor rango. Aunque a veces puede tener el mismo peso, nunca vale más. Se puede elegir una progresión válida de puntos o ponderaciones a voluntad ( Festival de Eurovisión ) o puede formar una secuencia matemática como una progresión aritmética ( conteo de Borda ), una geométrica ( sistema de numeración posicional ) o una armónica ( método Nauru/Dowdall ). El conjunto de ponderaciones empleado en una elección influye considerablemente en el orden de clasificación de los candidatos. Cuanto más pronunciada sea la disminución inicial de los valores de preferencia con el descenso de rango, más polarizado y menos consensuado se vuelve el sistema de voto posicional.

Es necesario distinguir entre la votación por posición y la votación por puntuación : en la primera, la puntuación que cada votante otorga a cada candidato está determinada exclusivamente por la posición del candidato en el ranking; en la segunda, cada votante es libre de otorgar cualquier puntuación a cualquier candidato.

Votación y recuento

En la votación posicional, los votantes completan una papeleta de votación por orden de preferencia, expresando sus preferencias en ese orden. A cada preferencia se le asigna una ponderación fija. Por lo general, cuanto más alta sea la posición de la preferencia, mayor será su valor en puntos. En ocasiones, puede compartir la misma ponderación que una preferencia de menor rango, pero nunca tendrá menos puntos.

Por lo general, cada votante debe expresar una preferencia ordinal única para cada opción en la papeleta, en estricto orden descendente. Sin embargo, un sistema de votación posicional particular puede permitir a los votantes truncar sus preferencias después de expresar una o más de ellas, dejando las opciones restantes sin clasificar y, por lo tanto, sin valor. De manera similar, otros sistemas pueden limitar la cantidad de preferencias que se pueden expresar. Por ejemplo, en el Festival de Eurovisión, cada país solo clasifica sus diez preferencias principales, aunque compiten muchas más de diez canciones. Nuevamente, las preferencias sin clasificar no tienen valor. En la votación posicional, las papeletas clasificadas con opciones empatadas normalmente se consideran inválidas.

El proceso de recuento es sencillo. A todas las preferencias emitidas por los votantes se les asignan los puntos correspondientes a su posición en el ranking. A continuación, se suman los puntos de cada opción y la que obtenga la mayor puntuación resulta ganadora. Si, tras el recuento, se requieren varios ganadores ( $W ), se seleccionan las$ $W$ opciones mejor clasificadas. El voto posicional no solo permite identificar a un único ganador, sino que también es un método para convertir conjuntos de preferencias individuales (votos clasificados) en un conjunto colectivo y ordenado por rangos. Es posible y legítimo que haya empates entre las opciones de este conjunto resultante, incluso en primer lugar.

Ejemplo

Consideremos una elección por votación posicional para elegir un único ganador entre tres opciones A, B y C. No se permiten truncamientos ni empates, y la primera, segunda y tercera preferencia valen 4, 2 y 1 punto respectivamente. Existen seis maneras diferentes en que cada votante puede ordenar estas opciones. Los 100 votantes emiten sus votos ordenados de la siguiente manera:

Una vez finalizada la votación, se suman los puntos otorgados por los votantes y se clasifican las opciones según el total de puntos obtenidos.

Por lo tanto, al obtener el mayor número de votos, la opción A resulta ganadora. Cabe destacar que el resultado de la elección también genera una clasificación completa de todas las opciones.

Distribuciones de puntos

Para la votación posicional, cualquier distribución de puntos a las posiciones de clasificación es válida, siempre que los puntos disminuyan ligeramente en la clasificación de cada candidato. En otras palabras, un candidato peor clasificado no debe recibir más puntos que un candidato mejor clasificado. ^{[ 1 ]}

Borda (imparcial)

El ejemplo clásico de un sistema electoral de votación posicional es el recuento de Borda . ^{[ 1 ]} Típicamente, para una elección uninominal con $N$ candidatos, una primera preferencia vale $N$ puntos, una segunda preferencia $N - 1$ puntos, una tercera preferencia $N - 2$ puntos y así sucesivamente hasta la última ( $N-$ ésima) preferencia que vale solo 1 punto. Así, por ejemplo, los puntos son respectivamente 4, 3, 2 y 1 para una elección con cuatro candidatos.

Matemáticamente, el valor en puntos o ponderación ( $w n$ ) asociado con una posición de rango dada ( $n$ ) se define a continuación; donde la ponderación de la primera preferencia es $a$ y la diferencia común es $d$ .

$w_{n}=a-(n-1)d$

donde $a = N$ , el número de candidatos.

El valor de la primera preferencia no tiene por qué ser $N.$ A veces se establece en $N - 1$ para que la última preferencia valga cero. Aunque es conveniente para el recuento, la diferencia común no tiene por qué fijarse en uno, ya que la clasificación general de los candidatos no se ve afectada por su valor específico. Por lo tanto, a pesar de generar recuentos diferentes, cualquier valor de $a$ o $d$ para una elección de recuento de Borda dará como resultado clasificaciones de candidatos idénticas. ^{[ 1 ]}

Las ponderaciones consecutivas del conteo de Borda forman una progresión aritmética .

Demasiado pesado por arriba

Los sistemas comunes para evaluar preferencias, a diferencia del método Borda, suelen estar sesgados hacia los candidatos más votados. En otras palabras, el método se centra en cuántos votantes consideran a un candidato como uno de sus favoritos.

Votación por mayoría simple

En el sistema de votación por mayoría simple (FPP), la opción más preferida recibe 1 punto, mientras que las demás reciben 0 puntos. Este es el sistema de votación posicional con mayor sesgo hacia la opción más votada.

Geométrico

También se puede utilizar una secuencia matemática alternativa conocida como progresión geométrica en la votación posicional. En este caso, existe una razón común $r$ entre ponderaciones adyacentes. Para satisfacer las dos condiciones de validez, el valor de $r$ debe ser menor que uno, de modo que las ponderaciones disminuyan a medida que las preferencias descienden en el rango. Donde el valor de la primera preferencia es $a$ , la ponderación ( $w n$ ) asignada a una posición de rango determinada ( $n$ ) se define a continuación.

$w_{n}=ar^{n-1},\qquad 0\leq r<1$

Por ejemplo, la secuencia de ponderaciones consecutivamente reducidas a la mitad de 1, 1/2, 1/4, 1/8, … como se usa en el sistema numérico binario constituye una progresión geométrica con una razón común de un medio ( $r$ = 1/2). Dichas ponderaciones son inherentemente válidas para su uso en sistemas de votación posicional siempre que se emplee una razón común legítima. Usando una razón común de cero, esta forma de votación posicional tiene ponderaciones de 1, 0, 0, 0, … y produce resultados de clasificación idénticos a los de la votación por mayoría simple o pluralidad .

Sistema Dowdall (Nauru)

Alternativamente, los denominadores de las ponderaciones fraccionarias anteriores podrían formar una progresión aritmética; es decir, 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 y así sucesivamente hasta $1/ N$ . Esta secuencia matemática adicional es un ejemplo de una progresión armónica . Estas ponderaciones particulares de orden de rango descendente se utilizan de hecho en las elecciones de votación posicional $de N$ candidatos al parlamento de Nauru . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Para tales sistemas electorales, la ponderación ( $wn)$ asignada a una posición de rango dada ( $n$ ) se define a continuación; donde el valor de la primera preferencia es $a$ .

$w_{n}={\frac {a^{2}}{a+(n-1)d}}={\frac {a}{1+{\frac {(n-1)d}{a}}}},$

donde $w 1 = a$ .

En el sistema Nauru, la primera preferencia $a$ vale uno y la diferencia común $d$ entre denominadores adyacentes también vale uno. Numerosas secuencias armónicas más pueden utilizarse en la votación posicional. Por ejemplo, al establecer $a$ en 1 y $d$ en 2 se generan los recíprocos de todos los números impares (1, 1/3, 1/5, 1/7, …), mientras que al establecer $a$ en 1/2 y $d$ en 1/2 se obtienen los de todos los números pares (1/2, 1/4, 1/6, 1/8, …).

La variante armónica utilizada por la nación insular de Nauru se llama sistema Dowdall , ya que fue ideado por el Secretario de Justicia de Nauru (Desmond Dowdall) en 1971. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Aquí, cada votante otorga al candidato mejor clasificado 1 punto, mientras que el segundo mejor clasificado recibe 1/2 punto , el tercer mejor clasificado recibe 1/3 de punto, etc. Al contar los votos de los candidatos en Nauru, se emplean números decimales redondeados a tres lugares después del punto decimal en lugar de fracciones. (Este sistema no debe confundirse con el uso de divisores secuenciales en sistemas proporcionales como la votación de aprobación proporcional , un método no relacionado). Un sistema similar de ponderación de votos de menor preferencia se utilizó en el sistema electoral primario de Oklahoma de 1925 .

Para una elección con cuatro candidatos, la distribución de puntos de Dowdall sería la siguiente:

Este método favorece más a los candidatos con muchas primeras preferencias que el método Borda convencional. Se ha descrito como un sistema «a medio camino entre la pluralidad y el método Borda, pero con una tendencia más hacia la pluralidad». ^{[ 5 ]} Las simulaciones muestran que el 30 % de las elecciones de Nauru producirían resultados diferentes si se contaran utilizando las reglas estándar de Borda. ^{[ 5 ]}

Eurovisión

El Festival de Eurovisión utiliza una primera preferencia que vale 12 puntos, mientras que la segunda recibe 10 puntos. Las siguientes ocho preferencias consecutivas reciben 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 punto. Todas las preferencias restantes reciben cero puntos.

Deportes y premios

En algunos deportes se utilizan métodos de votación posicional, ya sea para combinar clasificaciones en diferentes eventos o para evaluar a los participantes. Por ejemplo, se emplean sistemas de puntos para llevar la puntuación en la Fórmula 1 y para el premio al Jugador Más Valioso de las Grandes Ligas de Béisbol. Estas aplicaciones también tienden a favorecer a los mejores: tanto el sistema de puntos de la F1 como el del MVP de béisbol dan prioridad a los jugadores de la parte superior del cuadro.

Comparación de los tipos de progresión

En la votación posicional, las ponderaciones ( $w$ ) de las preferencias consecutivas, desde la primera hasta la última, disminuyen monótonamente con la posición en el ranking ( $n$ ). Sin embargo, la tasa de disminución varía según el tipo de progresión empleada. Las preferencias más bajas tienen mayor influencia en los resultados electorales cuando la progresión elegida utiliza una secuencia de ponderaciones que descienden relativamente despacio con la posición en el ranking. Cuanto más lentamente disminuyen las ponderaciones, más consensual y menos polarizante resulta la votación posicional.

Esta figura ilustra dichas disminuciones en diez preferencias para los siguientes cuatro sistemas electorales de votación posicional:

Recuento de Borda (donde $a = N = 10$ y $d = 1$ )
Sistema numérico binario (donde $a = 1$ y $r = 1/2$ )
Método de Nauru (donde $a = 1$ y $d = 1$ )
Festival de Eurovisión (solo preferencias distintas de cero)

Para facilitar la comparación, las ponderaciones reales se han normalizado; es decir, la primera preferencia se establece en uno y las demás ponderaciones en la secuencia particular se escalan por el mismo factor de $1/ a$ .

La disminución relativa de las ponderaciones en cualquier progresión aritmética es constante, ya que no depende de la diferencia común $d$ . En otras palabras, la diferencia relativa entre ponderaciones adyacentes es fija e igual a $1/ N$ . En cambio, el valor de $d$ en una progresión armónica sí afecta la velocidad de su disminución. Cuanto mayor sea su valor, más rápido disminuirán las ponderaciones. Por otro lado, cuanto menor sea el valor de la razón común $r$ en una progresión geométrica, más rápido disminuirán sus ponderaciones.

Aquí se eligieron las ponderaciones de las posiciones de los dígitos en el sistema numérico binario para ilustrar un ejemplo de progresión geométrica en la votación posicional. De hecho, se pueden emplear las ponderaciones consecutivas de cualquier sistema numérico digital, ya que todas constituyen progresiones geométricas. Por ejemplo, los sistemas binario, ternario, octal y decimal utilizan una base $R$ de 2, 3, 8 y 10, respectivamente. El valor $R$ es también la razón común de la progresión geométrica ascendente, mientras que $r$ es la razón común complementaria descendente. Por lo tanto, $r$ es el recíproco de $R$ , y las razones $r$ son, respectivamente, 1/2, 1/3, 1/8 y 1/10 para estos sistemas numéricos posicionales cuando se emplean en la votación posicional.

Al tener la base más pequeña, la tasa de disminución de las ponderaciones de preferencia es más lenta al usar el sistema numérico binario. Si bien la base $R$ (el número de dígitos únicos utilizados en el sistema numérico) debe ser un número entero, la razón común $r$ para la votación posicional no tiene por qué ser el recíproco de dicho número. Cualquier valor entre cero y un poco menos de uno es válido. Para una disminución más lenta de las ponderaciones que la generada con el sistema numérico binario, debe emplearse una razón común mayor que un medio. Cuanto mayor sea el valor de $r$ , más lenta será la disminución de las ponderaciones con el descenso de rango.

Análisis de sistemas no jerarquizados

Aunque no se clasifican como sistemas electorales de votación posicional, algunos métodos sin clasificación pueden analizarse matemáticamente como si lo fueran, asignando puntos de forma adecuada. ^{[ 1 ]} Dada la ausencia de una clasificación monótona estricta, todas las opciones favorecidas reciben el mismo peso con un valor alto, mientras que las demás tienen un valor bajo común. Por lo tanto, se cumplen los dos criterios de validez para una secuencia de ponderaciones.

Para una votación con $N$ candidatos, sea $F$ el número permitido de candidatos preferidos por papeleta y las dos ponderaciones sean un punto para estos candidatos preferidos y cero puntos para los no preferidos. Al representar analíticamente mediante votación posicional, los candidatos preferidos deben aparecer en las primeras $F$ posiciones de cada papeleta, en cualquier orden, y los demás candidatos en las últimas $N - F$ posiciones. Esto es fundamental, ya que la ponderación de cada posición es fija y común a todas las papeletas en la votación posicional.

Entre los métodos de votación uninominal no jerarquizados que pueden analizarse como sistemas electorales de votación posicional se incluyen:

Votación por mayoría simple de primera preferencia (FPP): La opción más preferida recibe 1 punto; todas las demás opciones reciben 0 puntos cada una. ( $F = 1$ )
Votación antiplural : La opción menos preferida recibe 0 puntos; todas las demás opciones reciben 1 punto cada una. ( $F = N - 1$ )

Y los métodos no clasificados para elecciones con múltiples ganadores (con $W$ ganadores) incluyen:

Voto único no transferible : La opción preferida recibe 1 punto; todas las demás opciones reciben 0 puntos cada una. ( $F = 1$ )
Votación limitada : Las $X$ opciones preferidas (donde $1 < X < W$ ) reciben 1 punto cada una; todas las demás opciones reciben 0 puntos cada una. ( $F = X$ ) Por lo general, los votantes pueden usar menos del número de marcas permitidas, por lo que normalmente no es un sistema posicional, ya que eso requeriría que los votantes votaran por exactamente X cantidad de candidatos (o el sistema reponderaría los puntos automáticamente, de manera similar a las clasificaciones iguales en las variantes de un solo ganador).
Votación en bloque : Las $W$ opciones preferidas reciben 1 punto cada una; todas las demás opciones reciben 0 puntos cada una ( $F = W$ ). Por lo general, los votantes pueden usar menos puntos de los permitidos, lo que hace que esta variante común no sea un sistema posicional.

En el voto de aprobación , los votantes tienen la libertad de favorecer a tantos candidatos como deseen, por lo que $F$ no es fijo, sino que varía según las papeletas individuales emitidas. Dado que las posiciones en el ranking tendrían ponderaciones diferentes en las distintas papeletas, el voto de aprobación no es un sistema de votación posicional, ni puede analizarse como tal.

Ejemplos comparativos

Supongamos que Tennessee celebra elecciones para elegir la ubicación de su capital . La población está dividida entre cuatro ciudades, y todos los votantes desean que la capital esté lo más cerca posible de ellas . Las opciones son:

Memphis , grande pero muy al oeste
Nashville , mediano, cerca del centro
Chattanooga , pequeña y en el este
Knoxville , pequeña y aislada

Donde $w n$ es la ponderación de la $n$ -ésima preferencia, la siguiente tabla define el cálculo del recuento resultante para cada ciudad:

Para una primera preferencia con un valor $w 1 = 1$ , la tabla siguiente indica el valor de cada una de las cuatro ponderaciones para una gama de diferentes sistemas de votación posicional que podrían emplearse para esta elección:

Estos cinco sistemas de votación posicional se presentan ordenados según su tipo de progresión . Cuanto más lento sea el descenso de los valores de ponderación en el orden descendente de clasificación, mayor será la suma de las cuatro ponderaciones; véase la columna final. La mayoría simple disminuye más rápidamente, mientras que la antipluralidad disminuye más lentamente.

Para cada sistema de votación posicional, los recuentos para cada una de las cuatro opciones de ciudad se determinan a partir de las dos tablas anteriores y se indican a continuación:

Para cada posible sistema de votación posicional que podría utilizarse en estas elecciones, el orden de clasificación general resultante de las opciones se muestra a continuación:

Esta tabla resalta la importancia del tipo de progresión para determinar el resultado ganador. Con todos los votantes firmemente a favor o en contra de Memphis, se trata de una opción muy polarizada, por lo que Memphis termina primero con el sistema de mayoría simple y último con el sistema de mayoría simple. Dada su ubicación central, Nashville es la opción de consenso. Gana con el recuento de Borda y los otros dos sistemas no polarizados.

Evaluación según los criterios del sistema de votación

Como clase de sistemas de votación, el voto posicional puede evaluarse según criterios matemáticos objetivos para valorar sus fortalezas y debilidades en comparación con otros métodos electorales de un solo ganador.

El voto posicional cumple los siguientes criterios:

Pero no cumple con los siguientes criterios:

Independencia de alternativas irrelevantes (IIA)
Independencia de los Clones (IoC)
Ganador del premio Condorcet
Perdedor de Condorcet (excepto el conteo de Borda)
Simetría de inversión (excepto el conteo de Borda)
Mayoría (excepto cuando equivale a pluralidad)

Según el teorema de imposibilidad de Arrow , ningún sistema de votación por orden de preferencia puede satisfacer los cuatro criterios siguientes al clasificar colectivamente tres o más alternativas:

Antes de que se emitan las preferencias de los votantes, los sistemas de votación que tratan a todos los votantes y a todos los candidatos por igual cumplen los dos primeros criterios mencionados. Por lo tanto, al igual que cualquier otro sistema de clasificación, la votación posicional no cumple los otros dos. Es eficiente en el sentido de Pareto, pero no es independiente de las alternativas irrelevantes . Esta deficiencia implica que la inclusión o exclusión de un candidato no ganador (irrelevante) puede alterar el resultado de las elecciones, a pesar de que las preferencias clasificadas de todos los votantes permanezcan inalteradas.

Ejemplo de IIA

Consideremos una elección por votación posicional con tres candidatos A, B y C, donde la primera, segunda y tercera preferencia valen 4, 2 y 1 punto respectivamente. Los 12 votantes emitieron sus votos ordenados de la siguiente manera:

Por lo tanto, el resultado de las elecciones es:

Por lo tanto, el candidato A es el único ganador y los candidatos B y C son los dos perdedores. Como alternativa irrelevante (perdedor), la participación de B en el concurso no debería influir en la victoria de A, siempre que el sistema de votación cumpla con la normativa IIA.

Al repetirse las elecciones sin el candidato B, manteniendo las preferencias de clasificación correctas para A y C, las 12 papeletas se emiten ahora de la siguiente manera:

El resultado de la repetición de las elecciones es ahora:

Tras la retirada del candidato B, el ganador es ahora C y ya no A. Independientemente de la puntuación asignada a cada posición en el ranking de preferencias, siempre existen casos en los que la inclusión o exclusión de una alternativa irrelevante altera el resultado de una elección. Por lo tanto, el voto posicional no cumple con la Ley de Inmunidades de Interés Internacional (IIA).

Ejemplo de IoC

El voto posicional tampoco cumple con el criterio de independencia de los candidatos nominados . La nominación estratégica de candidatos nominados tiene una alta probabilidad de afectar significativamente el resultado de una elección, y suele ser la intención detrás de esta práctica. Un candidato nominado es nominalmente idéntico a otro ya existente, de modo que los votantes no pueden distinguirlos a menos que se les informe cuál de los dos es el nominado. Dado que no se permiten empates en la clasificación, estos dos candidatos deben ser clasificados por los votantes en posiciones adyacentes. La nominación de candidatos nominados puede, en consecuencia, promover o degradar la clasificación colectiva de cualquier candidato no nominado.

Consideremos una elección por voto posicional en la que pueden competir tres candidatos. Hay solo 12 votantes y la primera, segunda y tercera preferencia valen 4, 2 y 1 punto respectivamente.

En este primer escenario, se nominan dos candidatos, A y B, pero ningún clon participa en la contienda. Los votantes emiten sus votos ordenados por preferencia de la siguiente manera:

Por lo tanto, el resultado de las elecciones es:

Ante un apoyo igualitario, es inevitable que A y B empaten en el primer puesto.

Supongamos que B, anticipándose a este empate, decide presentar un clon de sí mismo. Los candidatos nominados son ahora A, B1 _y B2 _. Como los votantes no pueden distinguir entre B1 _y B2 _, es igual de probable que clasifiquen a B1 _por encima de B2 _que que prefieran B2 _por encima de B1 _. En este segundo escenario, las 12 papeletas se emiten de la siguiente manera:

El nuevo resultado de las elecciones es ahora:

Al añadir un clon de sí mismo, B le ha entregado la victoria al candidato A. Este efecto contraproducente de "perjudicar" o acto de autodestrucción se denomina división del voto .

Para ascender al primer puesto, B debería instruir a todos sus seguidores para que siempre prefieran a uno de sus candidatos (por ejemplo, B1 ₎ sobre el otro (B2 ₎ . En este tercer escenario, las 12 papeletas se emiten de la siguiente manera:

El resultado revisado de las elecciones es ahora:

Al indicar el «equipo» B a sus propios seguidores —pero no a los de A— cuál de sus dos candidatos quiere que gane, B ha logrado su objetivo de conseguir la victoria para B _1. Sin un clon, A y B empatan con el mismo número de primeras y segundas preferencias. La introducción del clon B ₂ (una alternativa irrelevante) ha relegado las segundas preferencias de A al tercer lugar, mientras que las preferencias por el «equipo» B (B o B ₁ ) permanecen inalteradas en el primer y tercer escenario. Este acto deliberado de «enterrar» a A y promoverse a sí mismo se denomina formación de alianzas . Cabe señalar que si A indica a sus propios seguidores que siempre prefieran a B ₂ sobre B ₁ en una represalia de ojo por ojo, entonces se restablece el empate original entre A y el «equipo» B.

En mayor o menor medida, todos los sistemas de votación posicional son vulnerables a la formación de alianzas, con la única excepción de aquellos equivalentes a la mayoría simple. Dado que solo las primeras preferencias tienen valor, el uso de clones para relegar a los oponentes en el ranking nunca afecta los resultados electorales. Sin embargo, precisamente porque solo las primeras preferencias tienen valor, la mayoría simple es particularmente susceptible a la división del voto. En menor medida, muchos otros sistemas de votación posicional también se ven afectados por candidatos que actúan como "spoilers". Si bien el recuento de Borda es inherentemente vulnerable a la formación de alianzas, es invulnerable a la división del voto. ^{[ 1 ]}

Notas

Donald G. Saari ha publicado diversas obras que analizan matemáticamente los sistemas electorales de votación posicional. El método fundamental que explora en su análisis es el conteo de Borda.

Referencias

^ Saari , Donald G. ( 1995 ) . Geometría básica de la votación . Springer-Verlag. págs. 101 a 103. ISBN 3-540-60064-7.
↑ "Informe final de las elecciones parlamentarias de 2019" (PDF) . Comisión Electoral NAOERO . Consultado el 4 de noviembre de 2024 .
↑ "Informe final de las elecciones parlamentarias de 2022" (PDF) . Comisión Electoral NAOERO . Consultado el 4 de noviembre de 2024 .
↑ Reilly, Benjamin (2002). "Elección social en los Mares del Sur: Innovación electoral y el recuento de Borda en los países insulares del Pacífico". Revista Internacional de Ciencia Política . 23 (4): 364– 366. CiteSeerX 10.1.1.924.3992 . doi : 10.1177/0192512102023004002 . S2CID 3213336 .
1 2 3 Fraenkel, Jon; Grofman, Bernard (2014-04-03). "El recuento de Borda y sus alternativas en el mundo real: comparación de las reglas de puntuación en Nauru y Eslovenia". Australian Journal of Political Science . 49 (2): 186– 205. doi : 10.1080/10361146.2014.900530 . S2CID 153325225 .

Enlaces externos

Teoría Económica, Vol. 15, Número 1, 2000: Estructura matemática de las paradojas de la votación: II. Votación posicional , Donald G. SAARI

[Saari-1] Saari , Donald G. ( 1995 ) . Geometría básica de la votación . Springer-Verlag. págs. 101 a 103. ISBN 3-540-60064-7.

[Nauru_2019-2] "Informe final de las elecciones parlamentarias de 2019" (PDF) . Comisión Electoral NAOERO . Consultado el 4 de noviembre de 2024 .

[Nauru_2022-3] "Informe final de las elecciones parlamentarias de 2022" (PDF) . Comisión Electoral NAOERO . Consultado el 4 de noviembre de 2024 .

[Reilly20022-4] Reilly, Benjamin (2002). "Elección social en los Mares del Sur: Innovación electoral y el recuento de Borda en los países insulares del Pacífico". Revista Internacional de Ciencia Política . 23 (4): 364– 366. CiteSeerX 10.1.1.924.3992 . doi : 10.1177/0192512102023004002 . S2CID 3213336 .

[Fraenkel_Grofman_20142-5] 1 2 3 Fraenkel, Jon; Grofman, Bernard (2014-04-03). "El recuento de Borda y sus alternativas en el mundo real: comparación de las reglas de puntuación en Nauru y Eslovenia". Australian Journal of Political Science . 49 (2): 186– 205. doi : 10.1080/10361146.2014.900530 . S2CID 153325225 .

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