Seminorma

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , una seminorma es similar a una norma , pero no necesariamente definida positiva . Las seminormas están íntimamente relacionadas con los conjuntos convexos : toda seminorma es el funcional de Minkowski de algún disco absorbente y, a la inversa, el funcional de Minkowski de cualquier conjunto de este tipo es una seminorma.

Un espacio vectorial topológico es localmente convexo si y solo si su topología está inducida por una familia de seminormas.

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial sobre los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$o los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Una función de valor real${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$Se denomina seminorma si satisface las dos condiciones siguientes:

1. Subaditividad ^{[ 1 ]} / Desigualdad triangular :${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$a pesar de${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Homogeneidad absoluta : ^{[ 1 ]}${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$y todos los escalares${\displaystyle s.}$

Estas dos condiciones implican que${\displaystyle p(0)=0}$^{[ prueba 1 ]} y que cada seminorma${\displaystyle p}$También tiene la siguiente propiedad: ^{[ prueba 2 ]}

3. No negatividad : ^{[ 1 ]}${\displaystyle p(x)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$

Algunos autores incluyen la no negatividad como parte de la definición de "seminorma" (y a veces también de "norma"), aunque esto no es necesario ya que se deduce de las otras dos propiedades.

Por definición, una norma sobre${\displaystyle X}$es una seminorma que también separa puntos, lo que significa que tiene la siguiente propiedad adicional:

4. Definitivo positivo / Positivo ^{[ 1 ]} /Separación de puntos : siempre que${\displaystyle x\in X}$Satisface${\displaystyle p(x)=0,}$entonces${\displaystyle x=0.}$

AEl espacio seminorado es un par${\displaystyle (X,p)}$que consiste en un espacio vectorial${\displaystyle X}$y un semirrecta${\displaystyle p}$en${\displaystyle X.}$Si la semirrecta${\displaystyle p}$es también una norma entonces el espacio seminorado${\displaystyle (X,p)}$se denomina espacio normado .

Dado que la homogeneidad absoluta implica homogeneidad positiva, cada seminorma es un tipo de función llamada función sublineal . Un mapa${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$Se denomina función sublineal si es subaditiva y homogénea positiva . A diferencia de una seminorma, una función sublineal no es necesariamente no negativa. Las funciones sublineales se encuentran a menudo en el contexto del teorema de Hahn-Banach . Una función de valor real${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$es una seminorma si y solo si es una función sublineal y equilibrada .

• La seminorma trivial en${\displaystyle X,}$que se refiere a la constante${\displaystyle 0}$mapa en${\displaystyle X,}$induce la topología indiscreta en${\displaystyle X.}$
• Dejar${\displaystyle \mu }$ser una medida en un espacio${\displaystyle \Omega }$Para una constante arbitraria${\displaystyle c\geq 1}$, dejar${\displaystyle X}$sea ​​el conjunto de todas las funciones${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$para qué $${\displaystyle \lVert f\rVert _{c}:=\left(\int _{\Omega }|f|^{c}\,d\mu \right)^{1/c}}$$ Existe y es finito. Se puede demostrar que${\displaystyle X}$es un espacio vectorial y la función${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$es una semirroma en${\displaystyle X}$. Sin embargo, no siempre es la norma (por ejemplo, si${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$y${\displaystyle \mu }$es la medida de Lebesgue ) porque${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$no siempre implica${\displaystyle h=0}$. Para hacer${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$una norma, cociente${\displaystyle X}$por el subespacio cerrado de funciones${\displaystyle h}$con${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$. El espacio resultante ,${\displaystyle L^{c}(\mu )}$, tiene una norma inducida por${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$.
• Si${\displaystyle f}$Si cualquier forma lineal en un espacio vectorial es su valor absoluto${\displaystyle |f|,}$definido por${\displaystyle x\mapsto |f(x)|,}$es una semirroma.
• Una función sublineal${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$en un espacio vectorial real${\displaystyle X}$es una seminorma si y solo si es una función simétrica , lo que significa que${\displaystyle f(-x)=f(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$
• Cada función sublineal de valor real${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$en un espacio vectorial real${\displaystyle X}$induce una seminorma${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.}$^{[ 2 ]}
• Cualquier suma finita de seminormas es una seminorma. La restricción de una seminorma (o norma) a un subespacio vectorial es, de nuevo, una seminorma (o norma).
• Si${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$y${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$son seminormas (respectivamente, normas) en${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$luego el mapa${\displaystyle r:X\times Y\to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle r(x,y)=p(x)+q(y)}$es una seminorma (respectivamente, una norma) en${\displaystyle X\times Y.}$En particular, los mapas en${\displaystyle X\times Y}$definido por${\displaystyle (x,y)\mapstop(x)}$y${\displaystyle (x,y)\mapsto q(y)}$son ambos seminormas en${\displaystyle X\times Y.}$
• Si${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son seminormas en${\displaystyle X}$entonces también lo son ^{[ 3 ]}$${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}}$$y$${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ con }}y,z\in X\}}$$ dónde${\displaystyle p\wedge q\leq p}$y${\displaystyle p\wedge q\leq q.}$^{[ 4 ]}
• El espacio de seminormas en${\displaystyle X}$Generalmente no es un retículo distributivo con respecto a las operaciones anteriores. Por ejemplo, sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$,${\displaystyle p(x,y):=\max(|x|,|y|),q(x,y):=2|x|,r(x,y):=2|y|}$son tales que $${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (p\vee r))(x,y)=\inf\{\max(2|x_{1}|,|y_{1}|)+\max(|x_{2}|,2|y_{2}|):x=x_{1}+x_{2}{\text{ and }}y=y_{1}+y_{2}\}}$$mientras${\displaystyle (p\vee q\wedge r)(x,y):=\max(|x|,|y|)}$
• Si${\displaystyle L:X\to Y}$es un mapa lineal y${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$es una semirroma en${\displaystyle Y,}$entonces${\displaystyle q\circ L:X\to \mathbb {R} }$es una semirroma en${\displaystyle X.}$El seminorm${\displaystyle q\circ L}$será una norma en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle L}$es inyectivo y la restricción${\displaystyle q{\big \vert }_{L(X)}}$es una norma en${\displaystyle L(X).}$

Seminormas en un espacio vectorial${\displaystyle X}$están íntimamente ligados, a través de funcionales de Minkowski, a subconjuntos de${\displaystyle X}$que sean convexos , equilibrados y absorbentes . Dado dicho subconjunto${\displaystyle D}$de${\displaystyle X,}$el funcional de Minkowski de${\displaystyle D}$es una seminorma. Por el contrario, dado una seminorma${\displaystyle p}$en${\displaystyle X,}$los conjuntos${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$y${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$son convexos, equilibrados y absorbentes y, además, el funcional de Minkowski de estos dos conjuntos (así como de cualquier conjunto que se encuentre "entre ellos") es${\displaystyle p.}$^{[ 5 ]}

Cada seminorma es una función sublineal y, por lo tanto, satisface todas las propiedades de una función sublineal , incluida la convexidad .${\displaystyle p(0)=0,}$y para todos los vectores${\displaystyle x,y\in X}$: la desigualdad triangular inversa : ^{[ 2 ] [ 6 ]}$${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y)}$$ y también ${\textstyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$y${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$^{[ 2 ] [ 6 ]}

Para cualquier vector${\displaystyle x\in X}$y real positivo${\displaystyle r>0:}$^{[ 7 ]}$${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(x-y)<r\}}$$ y además,${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$es un disco absorbente en${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle p}$es una función sublineal en un espacio vectorial real${\displaystyle X}$entonces existe una función lineal${\displaystyle f}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle f\leq p}$^{[ 6 ]} y además, para cualquier funcional lineal${\displaystyle g}$en${\displaystyle X,}$${\displaystyle g\leq p}$en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle g^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$^{[ 6 ]}

Otras propiedades de las seminormas

Cada seminorma es una función equilibrada . Una seminorma${\displaystyle p}$es una norma en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$no contiene un subespacio vectorial no trivial.

Si${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$es una semirroma en${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle \ker p:=p^{-1}(0)}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X}$y por cada${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p}$es constante en el conjunto${\displaystyle x+\ker p=\{x+k:p(k)=0\}}$y igual a${\displaystyle p(x).}$^{[ prueba 3 ]}

Además, para cualquier real${\displaystyle r>0,}$^{[ 3 ]}$${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}.}$$

Si${\displaystyle D}$es un conjunto satisfactorio${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$entonces${\displaystyle D}$es absorbente en${\displaystyle X}$y${\displaystyle p=p_{D}}$dónde${\displaystyle p_{D}}$denota el funcional de Minkowski asociado con${\displaystyle D}$(es decir, el calibre de${\displaystyle D}$). ^{[ 5 ]} En particular, si${\displaystyle D}$es como arriba y${\displaystyle q}$¿Hay algún seminorma en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle q=p}$si y solo si${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.}$^{[ 5 ]}

Si${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$es un espacio normalizado y${\displaystyle x,y\in X}$entonces${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|}$a pesar de${\displaystyle z}$en el intervalo${\displaystyle [x,y].}$^{[ 8 ]}

Toda norma es una función convexa y, en consecuencia, encontrar un máximo global de una función objetivo basada en normas a veces es factible.

El concepto de norma en las álgebras de composición no comparte las propiedades habituales de una norma.

Un álgebra de composición${\displaystyle (A,*,N)}$Consiste en un álgebra sobre un cuerpo.${\displaystyle A,}$una involución${\displaystyle \,*,}$y una forma cuadrática${\displaystyle N,}$lo que se denomina la "norma". En varios casos${\displaystyle N}$es una forma cuadrática isotrópica de modo que${\displaystyle A}$tiene al menos un vector nulo , contrario a la separación de puntos requerida para la norma usual discutida en este artículo.

Un ultraseminorma o un seminorma no arquimediano es un seminorma.${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$eso también satisface${\displaystyle p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ for all }}x,y\in X.}$

Debilitamiento de la subaditividad: Cuasi-seminormas

Un mapa${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$Se denomina cuasi-seminorma si es (absolutamente) homogénea y existe alguna${\displaystyle b\leq 1}$de tal manera que${\displaystyle p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y)){\text{ for all }}x,y\in X.}$ El valor más pequeño de${\displaystyle b}$para lo cual esto se cumple se llama el multiplicador de${\displaystyle p.}$

Una cuasi-seminorma que separa puntos se llama cuasi-norma en${\displaystyle X.}$

Debilitamiento de la homogeneidad -${\displaystyle k}$-seminormas

Un mapa${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$se llama un${\displaystyle k}$-seminorma si es subaditivo y existe un${\displaystyle k}$de tal manera que${\displaystyle 0<k\leq 1}$y para todos${\displaystyle x\in X}$y escalares${\displaystyle s,}$$${\displaystyle p(sx)=|s|^{k}p(x)}$$A${\displaystyle k}$-seminorma que separa puntos se llama${\displaystyle k}$-norma en${\displaystyle X.}$

Tenemos la siguiente relación entre cuasi-seminormas y${\displaystyle k}$-seminormas:

Supongamos que${\displaystyle q}$es una cuasi-seminorma en un espacio vectorial${\displaystyle X}$con multiplicador${\displaystyle b.}$Si${\displaystyle 0<{\sqrt {k}}<\log _{2}b}$entonces existe${\displaystyle k}$-seminorma${\displaystyle p}$en${\displaystyle X}$equivalente a${\displaystyle q.}$

• Norma asimétrica : generalización del concepto de norma. 
• Espacio de Banach : espacio vectorial normado que es completo 
• Mapeo de contracción : función que reduce la distancia entre todos los puntos. 
• Topología localmente convexa más fina : espacio con topología generada por conjuntos convexos. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección. 
• Teorema de Hahn-Banach – Teorema sobre la extensión de funcionales lineales acotados Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 
• Norma de Gowers : una clase de normas en combinatoria aditiva. 
• Espacio vectorial topológico localmente convexo : espacio con topología generada por conjuntos convexos. 
• Distancia de Mahalanobis : medida de distancia estadística 
• Norma matricial – Norma en un espacio vectorial de matrices 
• Funcional Minkowski – Función hecha de un conjunto 
• Norma (matemáticas) – Longitud en un espacio vectorial 
• Espacio vectorial normado : espacio vectorial en el que se define una distancia. 
• Relación entre normas y métricas – Espacio matemático con una noción de distancia Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 
• Función sublineal : un tipo de función en álgebra lineal. 

Pruebas

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• Berberian, Sterling K. (1974). Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  15. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0OCLC 878109401​​ 
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4OCLC 17499190​​ 
• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  96 (2.ª  ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9OCLC 21195908​​ 
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• funciones sublineales
• El teorema del sándwich para funcionales sublineales y superlineales