Forma cuadrática definida

En matemáticas , una forma cuadrática definida es una forma cuadrática sobre un espacio vectorial real V que tiene el mismo signo (siempre positivo o siempre negativo) para cada vector no nulo de V. Según ese signo, la forma cuadrática se denomina definida positiva o definida negativa .

Una forma cuadrática semidefinida se define de manera muy similar, excepto que "siempre positiva" y "siempre negativa" se reemplazan por "nunca negativa" y "nunca positiva", respectivamente. En otras palabras, puede tomar valores cero para algunos vectores V distintos de cero .

Una forma cuadrática indefinida toma valores tanto positivos como negativos y se denomina forma cuadrática isotrópica .

De manera más general, estas definiciones se aplican a cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo ordenado . ^{[ 1 ]}

Las formas cuadráticas se corresponden biunívocamente con las formas bilineales simétricas sobre el mismo espacio. ^{[ 2 ]} Una forma bilineal simétrica también se describe como definida , semidefinida , etc., según su forma cuadrática asociada. Una forma cuadrática Q y su forma bilineal simétrica B asociada están relacionadas por las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}}$

Esta última fórmula surge de la expansión${\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}$

Como ejemplo, dejemos${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$y consideremos la forma cuadrática

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}$

dónde${\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V}$y c ₁ y c ₂ son constantes. Si c ₁ > 0 y c ₂ > 0, la forma cuadrática Q es definida positiva, por lo que Q se evalúa como un número positivo siempre que${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$Si una de las constantes es positiva y la otra es 0, entonces Q es semidefinida positiva y siempre se evalúa como 0 o un número positivo. Si c ₁ > 0 y c ₂ < 0, o viceversa, entonces Q es indefinida y a veces se evalúa como un número positivo y a veces como un número negativo. Si c ₁ < 0 y c ₂ < 0, la forma cuadrática es definida negativa y siempre se evalúa como un número negativo.${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$Y si una de las constantes es negativa y la otra es 0, entonces Q es semidefinida negativa y siempre se evalúa como 0 o un número negativo.

En general, una forma cuadrática en dos variables también incluirá un término de producto cruzado en x ₁ · x ₂ :

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}$

Esta forma cuadrática es definida positiva si${\displaystyle \;c_{1}>0\;}$y${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$definido negativo si${\displaystyle \;c_{1}<0\;}$y${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$y indefinido si${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.}$Es semidefinido positivo o negativo si${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,}$con el signo de la semidefinición coincidiendo con el signo de${\displaystyle \;c_{1}~.}$

Esta forma cuadrática bivariada aparece en el contexto de secciones cónicas centradas en el origen. Si la forma cuadrática general anterior se iguala a 0, la ecuación resultante es la de una elipse si la forma cuadrática es definida positiva o negativa, una hipérbola si es indefinida y una parábola si${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}$

El cuadrado de la norma euclidiana en un espacio n -dimensional, la medida de distancia más utilizada, es

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}$

En dos dimensiones esto significa que la distancia entre dos puntos es la raíz cuadrada de la suma de las distancias al cuadrado a lo largo de la${\displaystyle x_{1}}$eje y el${\displaystyle x_{2}}$eje.

Una forma cuadrática se puede escribir en términos de matrices como

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}$

donde x es cualquier vector cartesiano de n × 1${\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}$en la que al menos un elemento no es 0; A es una matriz simétrica n × n ; y el superíndice ^T denota la transpuesta de la matriz . Si A es diagonal, esto es equivalente a una forma no matricial que contiene únicamente términos que involucran variables al cuadrado; pero si A tiene algún elemento fuera de la diagonal distinto de cero, la forma no matricial también contendrá algunos términos que involucran productos de dos variables diferentes.

La definición positiva o negativa, la semidefinición o la indefinición de esta forma cuadrática es equivalente a la misma propiedad de A , que se puede comprobar considerando todos los autovalores de A o comprobando los signos de todos sus menores principales .

Las formas cuadráticas definidas se prestan fácilmente a problemas de optimización . Supongamos que la forma cuadrática matricial se aumenta con términos lineales, como

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}$

donde b es un vector de constantes de dimensión n × 1. Las condiciones de primer orden para un máximo o un mínimo se obtienen igualando la derivada de la matriz al vector cero:

${\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}$

donación

${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}$

Suponiendo que A es no singular . Si la forma cuadrática, y por lo tanto A , es definida positiva, se cumplen las condiciones de segundo orden para un mínimo en este punto. Si la forma cuadrática es definida negativa, se cumplen las condiciones de segundo orden para un máximo.

Un ejemplo importante de dicha optimización surge en la regresión múltiple , en la que se busca un vector de parámetros estimados que minimice la suma de las desviaciones cuadráticas con respecto a un ajuste perfecto dentro del conjunto de datos.

• Forma cuadrática isotrópica
• función definida positiva
• matriz definida positiva
• Identidad de polarización

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol.  106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 . 
• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (Cuarta impresión corregida, tercera  edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, pág.  578, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol.  73. Saltador. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .