Función armónica positiva

En matemáticas , una función armónica positiva en el disco unitario de los números complejos se caracteriza como la integral de Poisson de una medida positiva finita en el círculo. Este resultado, el teorema de representación de Herglotz-Riesz , fue demostrado independientemente por Gustav Herglotz y Frigyes Riesz en 1911. Puede utilizarse para proporcionar una fórmula y caracterización relacionadas para cualquier función holomorfa en el disco unitario con parte real positiva. Dichas funciones ya habían sido caracterizadas en 1907 por Constantin Carathéodory en términos de la positividad definida de sus coeficientes de Taylor .

Una función positiva f en el disco unitario con f (0)  =  1 es armónica si y solo si existe una medida de probabilidad μ en el círculo unitario tal que

${\displaystyle f(re^{i\theta })=\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,d\mu (\varphi ).}$

La fórmula define claramente una función armónica positiva con f (0)  =  1.

Por el contrario, si f es positiva y armónica y r _n aumenta hasta  1, defina

${\displaystyle f_{n}(z)=f(r_{n}z).\,}$

Entonces

${\displaystyle f_{n}(re^{i\theta })={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,f_{n}(\varphi )\,d\varphi =\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}d\mu _{n}(\varphi )}$

dónde

${\displaystyle d\mu _{n}(\varphi )={1 \over 2\pi }f(r_{n}e^{i\varphi })\,d\varphi }$

es una medida de probabilidad.

Mediante un argumento de compacidad (o, equivalentemente en este caso, el teorema de selección de Helly para las integrales de Stieltjes ), una subsecuencia de estas medidas de probabilidad tiene un límite débil que también es una medida de probabilidad μ.

Dado que r _n aumenta a 1, de modo que f _n ( z ) tiende a f ( z ), se deduce la fórmula de Herglotz.

Una función holomorfa f en el disco unitario con f (0) = 1 tiene parte real positiva si y solo si existe una medida de probabilidad μ en el círculo unitario tal que

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ).}$

Esto se deduce del teorema anterior porque:

• El núcleo de Poisson es la parte real del integrando anterior.
• La parte real de una función holomorfa es armónica y determina la función holomorfa salvo la adición de un escalar.
• La fórmula anterior define una función holomorfa, cuya parte real viene dada por el teorema anterior.

Dejar

${\displaystyle f(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$

Sea f(z) una función holomorfa en el disco unitario. Entonces f ( z ) tiene parte real positiva en el disco si y solo si

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}\geq 0}$

para cualesquiera números complejos λ ₀ , λ ₁ , ..., λ _N , donde

${\displaystyle a_{0}=2,\,\,\,a_{-m}={\overline {a_{m}}}}$

para m > 0.

De hecho, a partir de la representación de Herglotz para n > 0

${\displaystyle a_{n}=2\int _{0}^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\mu (\theta ).}$

Por eso

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=\int _{0}^{2\pi }\left|\sum _{n}\lambda _{n}e^{-in\theta }\right|^{2}\,d\mu (\theta )\geq 0.}$

Por el contrario, estableciendo λ _n  = z ⁿ , 

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=2(1-|z|^{2})\,\Re \,f(z).}$

• Teorema de Bochner

• Carathéodory, C. (1907), "Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen" , Math. Ana. , 64 : 95– 115, doi : 10.1007/bf01449883 , S2CID 116695038 
• Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Herglotz, G. (1911), "Über Potenzreihen mit positivm, reellen Teil im Einheitskreis", Ber. Verh. Sachs. Akád. Wiss. Leipzig , 63 : 501-511​
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol.  15, Vandenhoeck y Ruprecht
• Riesz, F. (1911), "Sur sures systèmes singuliers d'équations intégrales", Ann. Ciencia. CE. Norma. Súper. , 28 : 33– 62, doi : 10.24033/asens.633