operador lineal positivo

En matemáticas , más específicamente en análisis funcional , un operador lineal positivo de un espacio vectorial preordenado${\displaystyle (X,\leq )}$en un espacio vectorial preordenado${\displaystyle (Y,\leq )}$es un operador lineal${\displaystyle f}$en${\displaystyle X}$en${\displaystyle Y}$de tal manera que para todos los elementos positivos${\displaystyle x}$de${\displaystyle X,}$eso es${\displaystyle x\geq 0,}$sostiene que${\displaystyle f(x)\geq 0.}$ En otras palabras, un operador lineal positivo mapea el cono positivo del dominio en el cono positivo del codominio .

Todo funcional lineal positivo es un tipo de operador lineal positivo. La importancia de los operadores lineales positivos radica en resultados como el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .

Una función lineal${\displaystyle f}$En un espacio vectorial preordenado, se dice que un vector es positivo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle x\geq 0}$implica${\displaystyle f(x)\geq 0.}$
2. si${\displaystyle x\leq y}$entonces${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$^{[ 1 ]}

El conjunto de todas las formas lineales positivas en un espacio vectorial con cono positivo${\displaystyle C,}$llamado cono doble y denotado por${\displaystyle C^{*},}$es un cono igual al polar de${\displaystyle -C.}$ El preorden inducido por el cono dual en el espacio de funcionales lineales en${\displaystyle X}$se llama eldoble preorden . ^{[ 1 ]}

El dual de orden de un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X}$es el conjunto, denotado por${\displaystyle X^{+},}$definido por${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$

Dejar${\displaystyle (X,\leq )}$y${\displaystyle (Y,\leq )}$sean espacios vectoriales preordenados y dejemos que${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$sea ​​el espacio de todas las aplicaciones lineales desde${\displaystyle X}$en${\displaystyle Y.}$ El conjunto${\displaystyle H}$de todos los operadores lineales positivos en${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$es un cono en${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$que define un pedido anticipado en${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$. Si${\displaystyle M}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$y si${\displaystyle H\cap M}$es un cono propio entonces este cono propio define unorden parcial canónico en${\displaystyle M}$haciendo${\displaystyle M}$en un espacio vectorial parcialmente ordenado. ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle (X,\leq )}$y${\displaystyle (Y,\leq )}$son espacios vectoriales topológicos ordenados y si${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es una familia de subconjuntos acotados de${\displaystyle X}$cuyo sindicato cubre${\displaystyle X}$luego el cono positivo${\displaystyle {\mathcal {H}}}$en${\displaystyle L(X;Y)}$, que es el espacio de todas las aplicaciones lineales continuas de${\displaystyle X}$en${\displaystyle Y,}$está cerrado en${\displaystyle L(X;Y)}$cuando${\displaystyle L(X;Y)}$está dotado de la${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología . ^{[ 2 ]} Para${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ser un cono adecuado en${\displaystyle L(X;Y)}$es suficiente que el cono positivo de${\displaystyle X}$ser total en${\displaystyle X}$(es decir, la extensión del cono positivo de${\displaystyle X}$ser denso en${\displaystyle X}$). Si${\displaystyle Y}$es un espacio localmente convexo de dimensión mayor que 0 entonces esta condición también es necesaria. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, si el cono positivo de${\displaystyle X}$es total en${\displaystyle X}$y si${\displaystyle Y}$es un espacio localmente convexo, entonces el ordenamiento canónico de${\displaystyle L(X;Y)}$definido por${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es un pedido regular. ^{[ 2 ]}

Proposición : Supongamos que${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son espacios vectoriales topológicos localmente convexos ordenados con${\displaystyle X}$siendo un espacio de Mackey en el que todo funcional lineal positivo es continuo. Si el cono positivo de${\displaystyle Y}$es un cono débilmente normal en${\displaystyle Y}$entonces cada operador lineal positivo de${\displaystyle X}$en${\displaystyle Y}$es continuo. ^{[ 2 ]}

Proposición : Supongamos${\displaystyle X}$es un espacio vectorial topológico (TVS) ordenado con forma de barril y cono positivo${\displaystyle C}$que satisface${\displaystyle X=CC}$y${\displaystyle Y}$es un TVS ordenado semirreflexivo con un cono positivo${\displaystyle D}$Ese es un cono normal . Dar${\displaystyle L(X;Y)}$su orden canónico y dejar${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ser un subconjunto de${\displaystyle L(X;Y)}$que está dirigido hacia arriba y es mayorizado (es decir, limitado por encima por algún elemento de${\displaystyle L(X;Y)}$) o simplemente limitado. Entonces${\displaystyle u=\sup {\mathcal {U}}}$existe y el filtro de sección${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {U}})}$converge a${\displaystyle u}$uniformemente en cada subconjunto precompacto de${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}

• Saturado de cono
• Funcional lineal positivo
• Retículo vectorial : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como un retículo. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 

• Operadores lineales positivos y propiedades de aproximación

• Una clase de operadores lineales positivos y sus aplicaciones a problemas de contorno no lineales.

• Nota sobre operadores lineales positivos