Partes positivas y negativas

En matemáticas , la parte positiva de una función real o real extendida se define mediante la fórmula $${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0)={\begin{cases}f(x)&{\text{ si }}f(x)>0\\0&{\text{ en caso contrario.}}\end{cases}}}$$

Intuitivamente, el gráfico de${\displaystyle f^{+}}$se obtiene tomando la gráfica de${\displaystyle f}$, 'recortando' la parte debajo del eje x y dejando${\displaystyle f^{+}}$Toma el valor cero allí.

De manera similar, la parte negativa de f se define como $${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-f(x),0)=-\min(f(x),0)={\begin{cases}-f(x)&{\text{ si }}f(x)<0\\0&{\text{ en otro caso}}\end{cases}}}$$

Nótese que tanto f ⁺ como f ⁻ son funciones no negativas. Una particularidad de la terminología es que la "parte negativa" no es ni negativa ni una parte (al igual que la parte imaginaria de un número complejo no es ni imaginaria ni una parte).

La función f puede expresarse en términos de f ⁺ y f ⁻ como $${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$$

Tenga en cuenta también que $${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

Utilizando estas dos ecuaciones se pueden expresar las partes positivas y negativas como $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&={\frac {|f|+f}{2}}\\f^{-}&={\frac {|f|-f}{2}}.\end{aligned}}}$$

Otra representación, utilizando el corchete de Iverson, es $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&=[f>0]f\\f^{-}&=-[f<0]f.\end{aligned}}}$$

Se puede definir la parte positiva y negativa de cualquier función con valores en un grupo ordenado linealmente .

La función rampa unitaria es la parte positiva de la función identidad .

Dado un espacio medible ( X , Σ) , una función extendida de valores reales f es medible si y solo si sus partes positiva y negativa lo son. Por lo tanto, si dicha función f es medible, también lo es su valor absoluto | f | , que es la suma de dos funciones medibles. Sin embargo, lo contrario no necesariamente se cumple: por ejemplo, tomando f como $${\displaystyle f=1_{V}-{\frac {1}{2}},}$$ donde V es un conjunto de Vitali , es claro que f no es medible, pero su valor absoluto sí lo es, al ser una función constante.

La parte positiva y la parte negativa de una función se utilizan para definir la integral de Lebesgue para una función de valores reales. De forma análoga a esta descomposición de una función, se puede descomponer una medida con signo en partes positiva y negativa ; véase el teorema de descomposición de Hahn .

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