función definida positiva

Si${\displaystyle (X,\langle \cdot,\cdot \rangle )}$es un verdadero espacio interno del producto , entonces${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$,${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$es positivo definido para cada${\displaystyle y\in X}$: para todos${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}$y todo${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$tenemos

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}$

Como las combinaciones lineales no negativas de funciones definidas positivas también son definidas positivas, la función coseno es definida positiva como combinación lineal no negativa de las funciones anteriores:

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}$

Se puede crear una función definida positiva.${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$fácilmente a partir de una función definida positiva${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$para cualquier espacio vectorial${\displaystyle X}$: elige una función lineal${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$y definir${\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }$. Entonces

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}$

dónde${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$dónde${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}$son distintos como${\displaystyle \phi }$es lineal . ^{[ 1 ]}

La positividad definida surge naturalmente en la teoría de la transformada de Fourier ; se puede ver directamente que para ser positiva definida es suficiente que f sea la transformada de Fourier de una función g en la recta real con g ( y ) ≥ 0.

El resultado recíproco es el teorema de Bochner , que establece que cualquier función continua definida positiva en la recta real es la transformada de Fourier de una medida (positiva) . ^{[ 2 ]}

Se pueden definir funciones definidas positivas en cualquier grupo topológico abeliano localmente compacto ; el teorema de Bochner se extiende a este contexto. Las funciones definidas positivas en grupos aparecen de forma natural en la teoría de representaciones de grupos en espacios de Hilbert (es decir, la teoría de representaciones unitarias ).