expansión postnewtoniana

En la relatividad general , las expansiones post-newtonianas ( expandencias PN ) se utilizan para hallar una solución aproximada de las ecuaciones de campo de Einstein para el tensor métrico . Estas aproximaciones se expanden en parámetros pequeños que expresan órdenes de desviación de la ley de gravitación universal de Newton . Esto permite realizar aproximaciones a las ecuaciones de Einstein en el caso de campos débiles. Se pueden añadir términos de orden superior para aumentar la precisión, pero para campos fuertes a veces es preferible resolver numéricamente las ecuaciones completas. Este método es característico de las teorías de campo efectivas . En el límite, cuando los parámetros pequeños son iguales a cero, la expansión post-newtoniana se reduce a la ley de gravitación de Newton.

Los métodos post-newtonianos requieren masas de baja velocidad y campos gravitatorios débiles. Estos requisitos se cumplen plenamente en todas las pruebas de relatividad general realizadas en el sistema solar. Las altas velocidades que generan radiación gravitatoria o los grandes campos entre objetos compactos binarios , como pares de agujeros negros, no se modelan adecuadamente mediante la expansión post-newtoniana. Los modelos cosmológicos se basan en supuestos físicos diferentes y no se benefician de este método de aproximación. ^{[ 2 ] : 86}

Las aproximaciones post-newtonianas son expansiones en un parámetro pequeño, que es la relación entre la velocidad de la materia que crea el campo gravitatorio y la velocidad de la luz , que en este caso se denomina más precisamente velocidad de gravedad . ^{[ 3 ]} En el límite, cuando la velocidad fundamental de gravedad se vuelve infinita, la expansión post-newtoniana se reduce a la ley de gravitación de Newton . ^{[ 4 ]} Un estudio sistemático de las expansiones post-newtonianas dentro de las aproximaciones hidrodinámicas fue desarrollado por Subrahmanyan Chandrasekhar y sus colegas en la década de 1960. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

Otro enfoque consiste en expandir las ecuaciones de la relatividad general en una serie de potencias en la desviación de la métrica respecto a su valor en ausencia de gravedad .

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\eta _{\alpha \beta }\,.}$

Para ello, hay que elegir un sistema de coordenadas en el que los valores propios de${\displaystyle h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }\,}$Todos tienen valores absolutos menores que 1.

Por ejemplo, si uno va un paso más allá de la gravedad linealizada para obtener la expansión hasta el segundo orden en h :

${\displaystyle g^{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }+\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \nu }\,.}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\approx 1+{\tfrac {1}{2}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }+{\tfrac {1}{8}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \gamma }-{\tfrac {1}{4}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \alpha }\,.}$

Las expansiones basadas únicamente en la métrica, independientemente de la velocidad, se denominan expansiones post-minkowskianas (expansiones PM).

El primer uso de una expansión de Poisson-Number (de primer orden) lo realizó Albert Einstein al calcular la precesión del perihelio de la órbita de Mercurio . Hoy en día, el cálculo de Einstein se reconoce como un ejemplo común de las aplicaciones de las expansiones de Poisson-Number, que resuelven el problema general de dos cuerpos de la relatividad , el cual incluye la emisión de ondas gravitacionales .

En general, la métrica perturbada se puede escribir como ^{[ 11 ]}

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2A)d\tau ^{2}-2B_{i}dx^{i}d\tau -\left(\delta _{ij}+h_{ij}\right)dx^{i}dx^{j}\right]}$

dónde${\displaystyle A}$,${\displaystyle B_{i}}$y${\displaystyle h_{ij}}$son funciones del espacio y del tiempo.${\displaystyle h_{ij}}$puede descomponerse como

${\displaystyle h_{ij}=2C\delta _{ij}+\partial _{i}\partial _{j}E-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\Box ^{2}E+\partial _{i}{\hat {E}}_{j}+\partial _{j}{\hat {E}}_{i}+2{\tilde {E}}_{ij}}$

dónde${\displaystyle \Box }$es el operador d'Alembert ,${\displaystyle E}$es un escalar,${\displaystyle {\sombrero {E}}_{i}}$es un vector y${\displaystyle {\tilde {E}}_{ij}}$es un tensor sin traza. Entonces, los potenciales de Bardeen se definen como

${\displaystyle \Psi \equiv A+H(BE'),+(B+E')',\quad \Phi \equiv -CH(BE')+{\frac {1}{3}}\Box E}$

dónde${\displaystyle H}$es la constante de Hubble y una prima representa la diferenciación con respecto al tiempo conforme.${\displaystyle \tau \,}$.

Tomando${\displaystyle B=E=0}$(es decir, configuración)${\displaystyle \Phi \equiv -C}$y${\displaystyle \Psi \equiv A}$), el calibre newtoniano es

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2\Psi )d\tau ^{2}-(1-2\Phi )\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}\right]\,}$.

Tenga en cuenta que, en ausencia de tensión anisotrópica,${\displaystyle \Phi =\Psi }$.

Una extensión no lineal útil de esto la proporcionan los campos gravitatorios no relativistas .

• Condiciones de coordenadas
• Ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann
• Gravedad linealizada
• Formalismo postnewtoniano parametrizado

• "Sobre el movimiento de partículas en la teoría de la relatividad general" por A. Einstein y L. Infeld. Archivado el 8 de marzo de 2012 en Wayback Machine.
• Clifford, M. Will (2011). "Sobre la irrazonable efectividad de la aproximación post-newtoniana en la física gravitacional" . PNAS . 108 ( 15): 5938– 5945. arXiv : 1102.5192 . doi : 10.1073/pnas.1103127108 . PMC 3076827. PMID 21447714 .