Expansión post-newtoniana

En la relatividad general , las expansiones post-newtonianas ( expansiones PN ) se utilizan para encontrar una solución aproximada de las ecuaciones de campo de Einstein para el tensor métrico . Las aproximaciones se expanden en parámetros pequeños que expresan órdenes de desviaciones de la ley de gravitación universal de Newton . Esto permite realizar aproximaciones a las ecuaciones de Einstein en el caso de campos débiles. Se pueden agregar términos de orden superior para aumentar la precisión, pero para campos fuertes a veces es preferible resolver las ecuaciones completas numéricamente. Este método es una marca común de las teorías de campo efectivas . En el límite, cuando los parámetros pequeños son iguales a 0, la expansión post-newtoniana se reduce a la ley de gravedad de Newton.

Las aproximaciones post-newtonianas son expansiones en un parámetro pequeño, que es la relación entre la velocidad de la materia que crea el campo gravitatorio y la velocidad de la luz , que en este caso se denomina con más precisión velocidad de la gravedad . ^[1] En el límite, cuando la velocidad fundamental de la gravedad se vuelve infinita, la expansión post-newtoniana se reduce a la ley de la gravedad de Newton . Subrahmanyan Chandrasekhar y sus colegas desarrollaron un estudio sistemático de las expansiones post-newtonianas dentro de las aproximaciones hidrodinámicas en la década de 1960. ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Otro enfoque es expandir las ecuaciones de la relatividad general en una serie de potencias en la desviación de la métrica respecto de su valor en ausencia de gravedad .

${\displaystyle h_{\alpha \beta}=g_{\alpha \beta}-\eta _{\alpha \beta}\,.}$

Para ello, se debe elegir un sistema de coordenadas en el que los valores propios de todos tengan valores absolutos menores que 1. ${\displaystyle h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }\,}$

Por ejemplo, si uno va un paso más allá de la gravedad linealizada para obtener la expansión al segundo orden en h :

${\displaystyle g^{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }+\ eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \nu }\,.}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\approx 1+{\frac {1}{2}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }+{\frac {1}{8}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \gamma }-{\frac {1}{4}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \alpha }\,.}$

Las expansiones basadas únicamente en la métrica, independientemente de la velocidad, se denominan expansiones post-Minkowskianas ( expansiones PM ).

El primer uso de una expansión PN (de primer orden) fue realizado por Albert Einstein al calcular la precesión del perihelio de la órbita de Mercurio . Hoy en día, el cálculo de Einstein se reconoce como un ejemplo común de aplicaciones de las expansiones PN, resolviendo el problema general relativista de los dos cuerpos , que incluye la emisión de ondas gravitacionales .

En general, la métrica perturbada se puede escribir como ^[8]

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2A)d\tau ^{2}-2B_{i}dx^{i}d\tau -\left(\delta _{ij}+h_{ij}\right)dx^{i}dx^{j}\right]}$

donde , y son funciones del espacio y del tiempo. se pueden descomponer como ${\estilo de visualización A}$$Estilo de visualización B_{i}}$$estilo de visualización h_ {ij}}$$estilo de visualización h_ {ij}}$

${\displaystyle h_{ij}=2C\delta _{ij}+\partial _{i}\partial _{j}E-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\Box ^{2}E+\partial _{i}{\hat {E}}_{j}+\partial _{j}{\hat {E}}_{i}+2{\tilde {E}}_{ij}}$

donde es el operador de d'Alembert , es un escalar, es un vector y es un tensor sin traza. Entonces los potenciales de Bardeen se definen como ${\displaystyle \Cuadro}$${\estilo de visualización E}$${\displaystyle {\hat {E}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{ij}}$

${\displaystyle \Psi \equiv A+H(BE'),+(B+E')',\quad \Phi \equiv -CH(BE')+{\frac {1}{3}}\Box E}$

donde es la constante de Hubble y un primo representa la diferenciación con respecto al tiempo conforme . ${\estilo de visualización H}$${\displaystyle \tau \,}$

Tomando (es decir, estableciendo y ), el calibre newtoniano es ${\displaystyle B=E=0}$${\displaystyle \Phi \equiv -C}$${\displaystyle \Psi \equiv A}$

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2\Psi )d\tau ^{2}-(1-2\Phi )\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}\right]\,}$.

Téngase en cuenta que, en ausencia de estrés anisotrópico, . ${\displaystyle \Phi =\Psi}$

Los campos gravitacionales no relativistas proporcionan una extensión no lineal útil de esto .

• Condiciones de coordenadas
• Ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann
• Gravedad linealizada
• Formalismo post-newtoniano parametrizado

• "Sobre el movimiento de partículas en la teoría de la relatividad general" de A. Einstein y L. Infeld Archivado el 8 de marzo de 2012 en Wayback Machine.
• Blanchet, Luc (2014). "Radiación gravitacional de fuentes post-newtonianas y sistemas binarios compactos en espiral". Living Reviews in Relativity . 17 (1): 2. arXiv : 1310.1528 . Bibcode :2014LRR....17....2B. doi : 10.12942/lrr-2014-2 . PMC  5256563 . PMID  28179846.
• Clifford, M. Will (2011). "Sobre la efectividad irrazonable de la aproximación post-newtoniana en la física gravitacional". PNAS . 108 (15): 5938–5945. arXiv : 1102.5192 . doi : 10.1073/pnas.1103127108 .