Elemento con límite de potencia

Un elemento acotado por potencias es un elemento de un anillo topológico cuyas potencias están acotadas. Estos elementos se utilizan en la teoría de espacios ádicos .

Dejar${\displaystyle A}$Sea un anillo topológico. Un subconjunto${\displaystyle T\subset A}$Se denomina acotado si, para cada vecindario${\displaystyle U}$de cero, existe un vecindario abierto${\displaystyle V}$de cero tal que${\displaystyle T\cdot V:=\{t\cdot v\mid t\in T,v\in V\}\subset U}$sostiene. Un elemento${\displaystyle a\in A}$se denomina acotado por potencia , si el conjunto${\displaystyle \{a^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$está acotado. ^{[ 1 ]}

• Un elemento${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$está limitado por potencia si y solo si${\displaystyle |x|\leq 1}$sostener.
• En términos más generales, si${\displaystyle A}$es un anillo conmutativo topológico cuya topología está inducida por un valor absoluto , entonces un elemento${\displaystyle x\in A}$está limitado por potencia si y solo si${\displaystyle |x|\leq 1}$se cumple. Si el valor absoluto no es arquimediano , los elementos acotados por potencia forman un subanillo , denotado por${\displaystyle A^{\circ }}$Esto se deduce de la desigualdad ultramétrica .
• El anillo de elementos limitados por poder en${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$es${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\circ }=\mathbb {Z} _{p}}$.
• Todo elemento nilpotente topológico está acotado por potencia. ^{[ 2 ]}

• Morel: Espacios ádicos

• Wedhorn: Espacios ádicos