Esquema de ley de potencia

El esquema de la ley de potencia fue utilizado por primera vez por Suhas Patankar (1980). Ayuda a lograr soluciones aproximadas en dinámica de fluidos computacional (CFD) y se utiliza para dar una aproximación más precisa a la solución exacta unidimensional en comparación con otros esquemas en dinámica de fluidos computacional (CFD). Este esquema se basa en la solución analítica de la ecuación de difusión por convección . Este esquema también es muy eficaz para eliminar el error de difusión falsa .

El esquema de ley de potencia ^{[1] [2]} interpola el valor nominal de una variable, , utilizando la solución exacta de una ecuación de convección-difusión unidimensional que se indica a continuación: ${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u\phi )\,={\frac {\partial }{\partial x}}\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$

En la ecuación anterior, el coeficiente de difusión, tanto la densidad como la velocidad permanecen constantes a lo largo del intervalo de integración. ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \rho }$

Integrando la ecuación, con Condiciones de Frontera,

${\displaystyle \phi _{0}\,=\phi |_{(x=0)}}$

${\displaystyle \phi _{L}\,=\phi |_{(x=L)}}$

La variación del valor nominal con la distancia, x, viene dada por la expresión, ${\displaystyle {\frac {\phi (x)-\phi _{0}}{\phi _{L}-\phi _{0}}}\,={\frac {\exp({\text{Pe}}{\frac {x}{L}})-1}{\exp({\text{Pe}})-1}}}$

donde Pe es el número de Peclet dado por ${\displaystyle {\text{Pe}}\,={\frac {\rho uL}{\Gamma }}}$

El número de Peclet se define como la relación entre la tasa de convección de una cantidad física por el flujo y la tasa de difusión de la misma cantidad impulsada por un gradiente apropiado.

La variación entre y x se representa en la Figura para un rango de valores del número de Peclet. Muestra que para Pe grande, el valor de en x=L/2 es aproximadamente igual al valor en el límite de barlovento, que es el supuesto realizado por el esquema de diferenciación de barlovento. En este esquema, la difusión se establece en cero cuando el Pe de la celda supera 10. ${\displaystyle \phi \,}$${\displaystyle \phi \,}$

Esto implica que cuando el flujo está dominado por la convección, la interpolación se puede completar simplemente dejando que el valor nominal de una variable sea igual a su valor en contra del viento o de la corriente.

Cuando Pe=0 (sin flujo o difusión pura), la Figura muestra que la solución puede interpolarse utilizando un promedio lineal simple entre los valores en x=0 y x=L. ${\displaystyle \phi \,}$

Cuando el número de Peclet tiene un valor intermedio, el valor interpolado para x=L/2 debe derivarse aplicando la ley de potencia equivalente. ${\displaystyle \phi \,}$

La formulación del coeficiente de convección promedio simple se puede reemplazar con una fórmula que incorpora la relación de la ley de potencia:

dónde${\displaystyle F=\rho u,\quad D=\Gamma /L,\quad L=x_{r}-x_{c}=x_{c}-x_{l},\quad {\text{and}}\quad {\text{Pe}}=F/D}$

${\displaystyle F_{l},D_{l}}$y son las propiedades en el nodo izquierdo y el nodo derecho respectivamente. ${\displaystyle F_{r},D_{r}}$

El coeficiente central viene dado por . ${\displaystyle a_{c}=a_{l}+a_{r}+(F_{r}-F_{l})}$

Forma del coeficiente final de la ecuación discreta:${\displaystyle a_{c}\phi _{c}=a_{l}\phi _{l}+a_{r}\phi _{r}}$