Media generalizada

{\displaystyle M_{p}(1,x)} — Gráfico de varias medias generalizadas $M_{p}(1,x)$

En matemáticas , las medias generalizadas (o media potencial o media de Hölder , de Otto Hölder ) ^{[ 1 ]} son una familia de funciones para agregar conjuntos de números. Estas incluyen como casos especiales las medias pitagóricas ( medias aritmética , geométrica y armónica ).

Definición

Si $p es un$ número real distinto de cero , y $x_{1},\dots ,x_{n}$ son números reales positivos , entonces la media generalizada o media potencial con exponente $p$ de estos números reales positivos es ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.$

(Véase la norma $p$ ). Para $p = 0,$ la igualamos a la media geométrica (que es el límite de las medias con exponentes que tienden a cero, como se demuestra más adelante):

$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.$

Además, para una secuencia de pesos positivos $w i$ definimos la media ponderada de potencia como ^{[ 2 ]} $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}$ y cuando $p = 0$ , es igual a la media geométrica ponderada :

$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.$

Las medias no ponderadas corresponden a establecer todos $los w i = 1$ .

Casos especiales

Para algunos valores de $p$ , la media $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$ corresponde a una media bien conocida.

{\displaystyle n=2} — Una representación visual de algunos de los casos especificados para $n=2$ .
  Media armónica: $M_{-1}(a,b)$ .
  Media geométrica: $M_{0}(a,b)$ .
  Media aritmética: $M_{1}(a,b)$ .
  Media cuadrática: $M_{2}(a,b)$ .

Prueba de ${\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$ (media geométrica)

Para efectos de la demostración, asumiremos sin pérdida de generalidad que $w_{i}\in [0,1]$ y $\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1.$

Podemos reescribir la definición de $M_{p}$ utilizando la función exponencial como

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}$

En el límite $p \to 0$ , podemos aplicar la regla de L'Hôpital al argumento de la función exponencial. Suponemos que $p\in \mathbb {R}$ pero $p \neq 0$ , y que la suma de $w i$ es igual a 1 (sin pérdida de generalidad); ^{[ 4 ]} diferenciando el numerador y el denominador con respecto a $p$ , tenemos ${\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}$

Debido a la continuidad de la función exponencial, podemos sustituir nuevamente en la relación anterior para obtener $\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})$ como se desee. ^{[ 2 ]}

Prueba de ${\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$ y ${\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

Supongamos (posiblemente después de volver a etiquetar y combinar los términos) que $x_{1}\geq \dots \geq x_{n}$ . Entonces

${\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}$

La fórmula para $M_{-\infty }$ sigue de $M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}.$

Propiedades

Dejar $x_{1},\dots ,x_{n}$ Si es una secuencia de números reales positivos, entonces se cumplen las siguientes propiedades: ^{[ 1 ]}

$\min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})$ .
Cada media generalizada siempre se encuentra entre el valor más pequeño y el más grande de los valores $de x .$
$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))$ , dónde $P$ es un operador de permutación.
Cada media generalizada es una función simétrica de sus argumentos; permutar los argumentos de una media generalizada no cambia su valor.
$M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$ .
Como la mayoría de las medias , la media generalizada es una función homogénea de sus argumentos $x 1, ..., x n$ . Es decir, si $b$ es un número real positivo, entonces la media generalizada con exponente $p$ de los números $b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}$ es igual a $b$ veces la media generalizada de los números $x 1, ..., x n$ .
$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]$ .
Al igual que con las medias cuasi-aritméticas , el cálculo de la media se puede dividir en sub-bloques de igual tamaño. Esto permite utilizar un algoritmo de divide y vencerás para calcular las medias, cuando se desee.

Desigualdad media generalizada

En general, si $p < q$ , entonces $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})$ y las dos medias son iguales si y solo si $x 1 = x 2 = ... = x n$ .

La desigualdad es cierta para valores reales de $p$ y $q$ , así como para valores infinitos positivos y negativos.

Se deduce del hecho de que, para todo $p$ real , ${\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0$ lo cual se puede demostrar utilizando la desigualdad de Jensen .

En particular, para $p$ en ${-1, 0, 1}$ , la desigualdad de la media generalizada implica la desigualdad de las medias pitagóricas , así como la desigualdad de las medias aritméticas y geométricas .

Demostración de la desigualdad ponderada

Demostraremos la desigualdad de la media ponderada de potencias. Para la demostración, asumiremos lo siguiente sin pérdida de generalidad : ${\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}$

La demostración de las medias de potencia no ponderadas se puede obtener fácilmente sustituyendo $w i = 1/ n$ .

Equivalencia de desigualdades entre medias de signos opuestos

Supongamos que se cumple un promedio entre medias de potencias con exponentes $p$ y $q$ : $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$ Aplicando esto, entonces: $\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}\right)^{1/q}$

Elevamos ambos lados a la potencia de −1 (función estrictamente decreciente en números reales positivos): $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}\right)^{-1/p}=\left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}$

Obtenemos la desigualdad para medias con exponentes $- p$ y $- q$ , y podemos usar el mismo razonamiento a la inversa, demostrando así que las desigualdades son equivalentes, lo cual se utilizará en algunas de las demostraciones posteriores.

media geométrica

Para cualquier $q > 0$ y pesos no negativos que sumen 1, se cumple la siguiente desigualdad: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.$

La demostración se deduce de la desigualdad de Jensen , utilizando el hecho de que el logaritmo es cóncavo: $\log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$

Al aplicar la función exponencial a ambos lados y observar que, como función estrictamente creciente, conserva el signo de la desigualdad, obtenemos $\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$

Tomando $q$ -ésimas potencias de $x i$ se obtiene ${\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\\&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.\end{aligned}}$

Así pues, hemos terminado con la desigualdad con $q$ positivo ; el caso para los negativos es idéntico, salvo por el intercambio de signos en el último paso:

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}.$

Por supuesto, elevar cada lado a la potencia de un número negativo $-1/ q$ cambia la dirección de la desigualdad.

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}.$

Desigualdad entre dos medios de poder cualesquiera

Debemos demostrar que para cualquier $p < q$ se cumple la siguiente desigualdad: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$ Si $p$ es negativo y $q$ es positivo, la desigualdad es equivalente a la demostrada anteriormente: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$

La demostración para $p$ y $q$ positivos es la siguiente: Definimos la siguiente función: $f : R + \to R +$ $f(x)=x^{\frac {q}{p}}$ . $f$ es una función potencial, por lo que sí tiene una segunda derivada : $f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}$ lo cual es estrictamente positivo dentro del dominio de $f$ , ya que $q > p$ , por lo que sabemos $que f$ es convexa.

Utilizando esto y la desigualdad de Jensen, obtenemos: ${\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{q/p}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}$ Después de elevar ambos lados a la potencia de $1/ q$ (una función creciente, ya que $1/ q$ es positivo) obtenemos la desigualdad que se debía demostrar:

$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$

Utilizando la equivalencia mostrada anteriormente, podemos probar la desigualdad para $p$ y $q$ negativos reemplazándolos por $- q$ y $- p$ , respectivamente.

media f generalizada

La media de potencia podría generalizarse aún más a la $f$ -media generalizada :

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)$

Esto cubre la media geométrica sin usar un límite con $f (x) = log(x)$ . La media potencial se obtiene para $f (x) = x p$ . Las propiedades de estas medias se estudian en de Carvalho (2016). ^{[ 3 ]}

Aplicaciones

Procesamiento de señales

Una media de potencia sirve como media móvil no lineal que se desplaza hacia valores de señal pequeños para valores pequeños $de p$ y enfatiza valores de señal grandes para valores grandes de $p$ . Dada una implementación eficiente de una media aritmética móvil llamada, smoothse puede implementar una media de potencia móvil según el siguiente código Haskell .

powerSmooth :: Flotante a => ([ a ] -> [ a ]) -> a -> [ a ] -> [ a ] powerSmooth smooth p = map ( ** recip p ) . smooth . map ( ** p )

Para valores grandes $de p,$ puede servir como detector de envolvente en una señal rectificada .
Para valores pequeños $de p,$ puede servir como detector de referencia en un espectro de masas .

Véase también

Media aritmético-geométrica
Promedio
media herónica
Desigualdad de medias aritméticas y geométricas
Media de Lehmer – también una media relacionada con las potencias
distancia de Minkowski
Media cuasi-aritmética : otro nombre para la media f generalizada mencionada anteriormente.
raíz cuadrática media

Notas

↑ Si NM = a y PM = b . AM = AM de a y b , y radio r = AQ = AG.Usando el teorema de Pitágoras , QM ² = AQ ² + AM ² ∴ QM = √ AQ ² + AM ² = QM .Usando el teorema de Pitágoras , AM ² = AG ² + GM ² ∴ GM = √ AM ² − AG ² = GM .Usando triángulos semejantes , ⁠ HM / GM ⁠ = ⁠ GM / AM ⁠ ∴ HM = ⁠ GM ² / AM ⁠ = HM .

Referencias

1 2 Sýkora, Stanislav (2009). "Medias y promedios matemáticos: propiedades básicas". Stan's Library . III . Castano Primo, Italia. doi : 10.3247/SL3Math09.001 .
1 2 3 P. S. Bullen: Manual de medias y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer, 2003, págs. 175-177
1 2 de Carvalho, Miguel (2016). "Mean, what do you Mean?" . The American Statistician . 70 (3): 764‒776. doi : 10.1080/00031305.2016.1148632 . hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .
↑ Manual de medias y sus desigualdades (matemáticas y sus aplicaciones) .

Lecturas adicionales

Bullen, PS (2003). "Capítulo III - Los medios de potencia". Manual de medios y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer. pp. 175–265 .

Enlaces externos

Potencia media en MathWorld
Ejemplos de media generalizada
Una demostración de la media generalizada en PlanetMath

[5] Si NM = a y PM = b . AM = AM de a y b , y radio r = AQ = AG.Usando el teorema de Pitágoras , QM ² = AQ ² + AM ² ∴ QM = √ AQ ² + AM ² = QM .Usando el teorema de Pitágoras , AM ² = AG ² + GM ² ∴ GM = √ AM ² − AG ² = GM .Usando triángulos semejantes , ⁠ HM / GM ⁠ = ⁠ GM / AM ⁠ ∴ HM = ⁠ GM ² / AM ⁠ = HM .

[sykora-1] 1 2 Sýkora, Stanislav (2009). "Medias y promedios matemáticos: propiedades básicas". Stan's Library . III . Castano Primo, Italia. doi : 10.3247/SL3Math09.001 .

[Bullen1-2] 1 2 3 P. S. Bullen: Manual de medias y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer, 2003, págs. 175-177

[dC2016-3] 1 2 de Carvalho, Miguel (2016). "Mean, what do you Mean?" . The American Statistician . 70 (3): 764‒776. doi : 10.1080/00031305.2016.1148632 . hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .

[4] Manual de medias y sus desigualdades (matemáticas y sus aplicaciones) .

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