Serie Power

En matemáticas , una serie de potencias (en una variable ) es una serie infinita de la forma $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(xc\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(xc)+a_{2}(xc)^{2}+\dots$ dónde $a_{n}$ representa el coeficiente del término n y c es una constante llamada centro de la serie. Las series de potencias son útiles en el análisis matemático , donde surgen como series de Taylor de funciones infinitamente diferenciables . De hecho, el teorema de Borel implica que toda serie de potencias es la serie de Taylor de alguna función suave.

En muchas situaciones, el centro c es igual a cero, por ejemplo, para la serie de Maclaurin . En tales casos, la serie de potencias toma la forma más simple. $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .$

Las sumas parciales de una serie de potencias son polinomios ; las sumas parciales de la serie de Taylor de una función analítica son una sucesión de aproximaciones polinómicas convergentes a la función en el centro; y una serie de potencias convergente puede considerarse como una especie de polinomio generalizado con infinitos términos. Por el contrario, todo polinomio es una serie de potencias con un número finito de términos distintos de cero.

Más allá de su función en el análisis matemático, las series de potencias también aparecen en combinatoria como funciones generadoras (una especie de serie de potencias formal ) y en ingeniería electrónica (bajo el nombre de transformada Z ). La notación decimal habitual para los números reales también puede considerarse un ejemplo de serie de potencias, con coeficientes enteros y el argumento x fijo en 1/10 . En teoría de números , el concepto de números p -ádicos también está estrechamente relacionado con el de serie de potencias .

Ejemplos

Polinomio

{\displaystyle f(x)=1} — La función exponencial (en azul) y su aproximación mejorada mediante la suma de los primeros n + 1 términos de su serie de potencias de Maclaurin (en rojo). Así, n=0 da $f(x)=1$ , n=1 $f(x)=1+x$ , n=2 $f(x)=1+x+x^{2}/2$ , n=3 $f(x)=1+x+x^{2}/2+x^{3}/6$ etcétera.

Todo polinomio de grado $d$ puede expresarse como una serie de potencias alrededor de cualquier centro $c$ , donde todos los términos de grado superior a $d$ tienen un coeficiente de cero. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, el polinomio ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ se puede escribir como una serie de potencias alrededor del centro ${\textstyle c=0}$ como $f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots$ o alrededor del centro ${\textstyle c=1}$ como $f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots .$

Se puede considerar que las series de potencias son como "polinomios de grado infinito", aunque no son polinomios en sentido estricto.

Series geométricas, función exponencial y seno

La fórmula de la serie geométrica ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$ que es válido para ${\textstyle |x|<1}$ , es uno de los ejemplos más importantes de una serie de potencias, al igual que la fórmula de la función exponencial . $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$ y la fórmula del seno $\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$ válido para todo x real . Estas series de potencias son ejemplos de series de Taylor (o, más específicamente, de series de Maclaurin ).

En el conjunto de exponentes

Las potencias negativas no están permitidas en una serie de potencias ordinaria; por ejemplo, ${\textstyle x^{-1}+1+x^{1}+x^{2}+\cdots }$ no se considera una serie de potencias (aunque es una serie de Laurent ). De manera similar, las potencias fraccionarias como ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ No están permitidas; en las series de Puiseux aparecen potencias fraccionarias . Los coeficientes ${\textstyle a_{n}}$ no debe depender de ${\textstyle x}$ así , por ejemplo ${\textstyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots }$ no es una serie de potencias.

Radio de convergencia

Una serie de potencias ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ es convergente para algunos valores de $x$ , que siempre incluyen $x = c$ , ya que, para este valor de $x$ , la serie se reduce a su primer término . $a_{0}$ .

La serie puede divergir para otros valores de $x$ , posiblemente para todos ellos. Si $c$ no es el único valor de convergencia, entonces siempre existe un número $r$ con $0 < r \leq \infty$ tal que la serie converge si $| x - c | < r$ y diverge si $| x - c | > r$ . El número $r$ se denomina radio de convergencia de la serie de potencias; en general se expresa como $r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$ o, equivalentemente, $r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.$ Este es el teorema de Cauchy-Hadamard ; consulte límite superior y límite inferior para una explicación de la notación. La relación $r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$ También se cumple si existe este límite.

El conjunto de los números complejos tales que $| x - c | < r$ se denomina disco de convergencia de la serie. La serie converge absolutamente dentro de su disco de convergencia y converge uniformemente en todo subconjunto compacto de dicho disco.

Para $| x - c | = r$ , no existe una afirmación general sobre la convergencia de la serie. Sin embargo, el teorema de Abel establece que si la serie es convergente para algún valor $z$ tal que $| z - c | = r$ , entonces la suma de la serie para $x = z$ es el límite de la suma de la serie para $x = c + t (z - c)$ donde $t$ es una variable real menor que1 que tiende a1 .

Operaciones en series de potencia

Suma y resta

Cuando dos funciones f y g se descomponen en series de potencias alrededor del mismo centro c , la serie de potencias de la suma o diferencia de las funciones se puede obtener mediante suma y resta término a término. Es decir, si $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$ y $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$ entonces $f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$

La suma de dos series de potencias tendrá un radio de convergencia de al menos el menor de los dos radios de convergencia de las dos series, ^{[ 2 ]} pero posiblemente mayor que cualquiera de los dos. Por ejemplo, no es cierto que si dos series de potencias ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ y ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ tienen el mismo radio de convergencia, entonces ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ también tiene este radio de convergencia: si ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ y ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$ , por ejemplo, entonces ambas series tienen el mismo radio de convergencia de 1, pero la serie ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ tiene un radio de convergencia de 3.

Multiplicación y división

Con las mismas definiciones para $f(x)$ y $g(x)$ La serie de potencias del producto y el cociente de las funciones se puede obtener de la siguiente manera: ${\begin{aligned}f(x)g(x)&={\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}{\biggr )}(x-c)^{n}.\end{aligned}}$

La secuencia ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ se conoce como el producto de Cauchy de las secuencias $a_{n}$ y $b_{n}$ .

Para la división, si se define la secuencia $d_{n}$ por ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$ entonces $f(x)={\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}$ y se puede resolver recursivamente para los términos $d_{n}$ comparando coeficientes.

Al resolver las ecuaciones correspondientes se obtienen las fórmulas basadas en determinantes de ciertas matrices de coeficientes de $f(x)$ y $g(x)$ $d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$ $d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}$

Diferenciación e integración

Una vez que una función $f(x)$ Se expresa como una serie de potencias como se indicó anteriormente, y es diferenciable en el interior del dominio de convergencia. Se puede diferenciar e integrar tratando cada término por separado, ya que tanto la diferenciación como la integración son transformaciones lineales de funciones: ${\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}$

Ambas series tienen el mismo radio de convergencia que la serie original.

Funciones analíticas

Una función f definida en algún subconjunto abierto U de R o C se llama analítica si está dada localmente por una serie de potencias convergente. Esto significa que cada a ∈ U tiene un entorno abierto V ⊆ U , tal que existe una serie de potencias con centro a que converge a f ( x ) para cada x ∈ V .

Toda serie de potencias con radio de convergencia positivo es analítica en el interior de su región de convergencia. Todas las funciones holomorfas son analíticas complejas. Las sumas y los productos de funciones analíticas son analíticos, al igual que los cocientes siempre que el denominador sea distinto de cero.

Si una función es analítica, entonces es infinitamente diferenciable, pero en el caso real lo contrario no suele ser cierto. Para una función analítica, los coeficientes a _n se pueden calcular como $a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}{\left(c\right)}}{n!}}$

dónde $f^{(n)}(c)$ denota la n -ésima derivada de f en c , y $f^{(0)}(c)=f(c)$ Esto significa que cada función analítica está representada localmente por su serie de Taylor .

La forma global de una función analítica está completamente determinada por su comportamiento local en el siguiente sentido: si f y g son dos funciones analíticas definidas en el mismo conjunto abierto conexo U , y si existe un elemento $c \in U$ tal que $f (n) (c) = g (n) (c)$ para todo $n \geq 0$ , entonces $f (x) = g (x)$ para todo $x \in U.$

Si se da una serie de potencias con radio de convergencia r , se pueden considerar continuaciones analíticas de la serie, es decir, funciones analíticas f que están definidas en conjuntos mayores que ${x | | x - c | < r}$ y coinciden con la serie de potencias dada en este conjunto. El número r es máximo en el siguiente sentido: siempre existe un número complejo $x$ con $| x - c | = r$ tal que no se puede definir ninguna continuación analítica de la serie en $x$ .

El desarrollo en serie de potencias de la función inversa de una función analítica se puede determinar utilizando el teorema de inversión de Lagrange .

Comportamiento cerca del límite

La suma de una serie de potencias con radio de convergencia positivo es una función analítica en cada punto del interior del disco de convergencia. Sin embargo, puede observarse un comportamiento diferente en los puntos del límite de dicho disco. Por ejemplo:

Divergencia cuando la suma se extiende a una función analítica : ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ tiene radio de convergencia igual a $1$ y diverge en cada punto de $|z|=1$ . Sin embargo, la suma en $|z|<1$ es ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$ , que es analítica en cada punto del plano excepto en $z=1$ .
Convergente en algunos puntos, divergente en otros : ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ tiene radio de convergencia $1$ . Converge para $z=-1$ , mientras que diverge para $z=1$ .
Convergencia absoluta en cada punto de la frontera : ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ tiene radio de convergencia $1$ , mientras que converge absoluta y uniformemente en cada punto de $|z|=1$ debido a la prueba M de Weierstrass aplicada con la serie hiperarmónica convergente ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ .
Convergente en el cierre del disco de convergencia pero no suma continua : Sierpiński dio un ejemplo ^{[ 3 ]} de una serie de potencias con radio de convergencia. $1$ , convergente en todos los puntos con $|z|=1$ , pero la suma es una función no acotada y, en particular, discontinua. Una condición suficiente para la continuidad unilateral en un punto frontera viene dada por el teorema de Abel .

Generando series

Es común asociar a cualquier secuencia de números $(a_{0},a_{1},\ldots .a_{n},\ldots )$ su serie generadora $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ o su serie generadora exponencial $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}.$

Cuando el radio de convergencia es positivo, la serie define una función analítica . Generar series y las funciones analíticas que definen constituye una herramienta poderosa para estudiar series numéricas y su comportamiento asintótico . Esto se utiliza, en particular, en combinatoria analítica , donde se aprovecha todo el potencial del análisis complejo para obtener estimaciones precisas del número de estructuras combinatorias de un tipo dado en función de su tamaño.

Serie de potencias formal

En álgebra abstracta , se intenta capturar la esencia de las series de potencias sin limitarse a los campos de los números reales y complejos, y sin necesidad de hablar de convergencia. Esto da lugar al concepto de series de potencias formales , un concepto de gran utilidad en combinatoria algebraica .

Series de potencias en varias variables

Es necesaria una extensión de la teoría para los propósitos del cálculo multivariable . Una serie de potencias se define aquí como una serie infinita de la forma $f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},$ donde $j = (j₁,$ $\dots$ $,$ $jₙ$ $)$ es un vector de números naturales, los coeficientes $a (j₁,$ $\dots$ $,$ $jₙ$ $)$ suelen ser números reales o complejos, y el centro $c = ($ $c₁$ $,$ $\dots$ $,$ $cₙ$ $)$ $y$ el argumento $x = (x₁, \dots, xₙ$ $)$ suelen ser vectores reales o complejos. El símbolo $\Pi$ es el símbolo de producto , que denota multiplicación. En la notación multiíndice más conveniente , esto se puede escribir $f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.$ dónde $\mathbb {N}$ es el conjunto de los números naturales , y por lo tanto $\mathbb {N} ^{n}$ es el conjunto de n - tuplas ordenadas de números naturales.

La teoría de dichas series es más compleja que la de las series de una sola variable, con regiones de convergencia más complicadas. Por ejemplo, la serie de potencias. ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ es absolutamente convergente en el conjunto $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ entre dos hipérbolas. (Este es un ejemplo de un conjunto log-convexo , en el sentido de que el conjunto de puntos $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ , dónde $(x_{1},x_{2})$ Si se encuentra en la región anterior, es un conjunto convexo. De forma más general, se puede demostrar que cuando c=0, el interior de la región de convergencia absoluta es siempre un conjunto log-convexo en este sentido. Por otro lado, en el interior de esta región de convergencia se puede derivar e integrar bajo el signo de serie, al igual que se hace con las series de potencias ordinarias. ^{[ 4 ]}

Orden de una serie de potencias

Sea $α$ un multiíndice para una serie de potencias $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ . El orden de la serie de potencias f se define como el valor más pequeño $r$ de tal manera que exista un _α ≠ 0 con $r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ , o $\infty$ si f ≡ 0. En particular, para una serie de potencias f ( x ) en una sola variable x , el orden de f es la potencia más pequeña de x con un coeficiente distinto de cero. Esta definición se extiende fácilmente a las series de Laurent .

Notas

↑ Howard Levi (1967). Polinomios, series de potencias y cálculo . Van Nostrand. pág. 24.
↑ Erwin Kreyszig, Matemáticas avanzadas para ingeniería, 8.ª ed., página 747
↑ Wacław Sierpiński (1916). "Sur une série potentielle qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction discontinue. (Francés)" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 41 . Palermo Rend.: 187– 190. doi : 10.1007/BF03018294 . JFM 46.1466.03 . S2CID 121218640 .
↑ Beckenbach, EF (1948). "Funciones convexas" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 54 (5): 439– 460. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-08994-7 .

Referencias

Solomentsev, ED (2001) [1994], "Series de potencias" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Series de potencias formales" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Series de potencias" . MathWorld .
Potencias de números complejos, por Michael Schreiber, Proyecto de demostraciones de Wolfram .

[1] Howard Levi (1967). Polinomios, series de potencias y cálculo . Van Nostrand. pág. 24.

[2] Erwin Kreyszig, Matemáticas avanzadas para ingeniería, 8.ª ed., página 747

[3] Wacław Sierpiński (1916). "Sur une série potentielle qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction discontinue. (Francés)" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 41 . Palermo Rend.: 187– 190. doi : 10.1007/BF03018294 . JFM 46.1466.03 . S2CID 121218640 .

[4] Beckenbach, EF (1948). "Funciones convexas" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 54 (5): 439– 460. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-08994-7 .

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