Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias

En matemáticas , el método de series de potencias se utiliza para buscar una solución de serie de potencias para ciertas ecuaciones diferenciales . En general, dicha solución supone una serie de potencias con coeficientes desconocidos y luego sustituye esa solución en la ecuación diferencial para encontrar una relación de recurrencia para los coeficientes.

Considere la ecuación diferencial lineal de segundo orden Suponga que a ₂ es distinto de cero para todo z . Luego podemos dividir por completo para obtener Suponga además que a ₁ / a ₂ y a ₀ / a ₂ son funciones analíticas . $${\displaystyle a_{2}(z)f''(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0.}$$$${\displaystyle f''+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)}f=0.}$$

El método de series de potencias requiere la construcción de una solución de series de potencias $${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}.}$$

Si a ₂ es cero para algún z , entonces el método de Frobenius , una variación de este método, es adecuado para tratar los denominados " puntos singulares ". El método funciona de manera análoga tanto para ecuaciones de orden superior como para sistemas.

Veamos la ecuación diferencial de Hermite , $${\displaystyle f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda =1}$$

Podemos intentar construir una solución en serie. $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\\f'&=\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}\\f''&=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}\end{aligned}}}$$

Sustituyéndolos en la ecuación diferencial $${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-2z\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}=0\\=&\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\end{aligned}}}$$

Realizar un cambio en la primera suma $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+\sum _{k=1}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}\right)z^{k}\end{aligned}}}$$

Si esta serie es una solución, entonces todos estos coeficientes deben ser cero, por lo que tanto para k = 0 como para k > 0: $${\displaystyle (k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}=0}$$

Podemos reorganizar esto para obtener una relación de recurrencia para A _{k +2} . $${\displaystyle (k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_{k}}$$ $${\displaystyle A_{k+2}={(2k-1) \over (k+2)(k+1)}A_{k}}$$

Ahora tenemos $${\displaystyle A_{2}={-1 \over (2)(1)}A_{0}={-1 \over 2}A_{0},\,A_{3}={1 \over (3)(2)}A_{1}={1 \over 6}A_{1}}$$

Podemos determinar A0 y A1 si existen condiciones iniciales, es decir, si tenemos un _{problema de} valor inicial .

Entonces tenemos y la solución de la serie es que podemos descomponer en la suma de dos soluciones de serie linealmente independientes: que se puede simplificar aún más mediante el uso de series hipergeométricas . $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{4}&={1 \over 4}A_{2}=\left({1 \over 4}\right)\left({-1 \over 2}\right)A_{0}={-1 \over 8}A_{0}\\[8pt]A_{5}&={1 \over 4}A_{3}=\left({1 \over 4}\right)\left({1 \over 6}\right)A_{1}={1 \over 24}A_{1}\\[8pt]A_{6}&={7 \over 30}A_{4}=\left({7 \over 30}\right)\left({-1 \over 8}\right)A_{0}={-7 \over 240}A_{0}\\[8pt]A_{7}&={3 \over 14}A_{5}=\left({3 \over 14}\right)\left({1 \over 24}\right)A_{1}={1 \over 112}A_{1}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+A_{2}z^{2}+A_{3}z^{3}+A_{4}z^{4}+A_{5}z^{5}+A_{6}z^{6}+A_{7}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+A_{1}z+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle f=A_{0}\left(1+{-1 \over 2}z^{2}+{-1 \over 8}z^{4}+{-7 \over 240}z^{6}+\cdots \right)+A_{1}\left(z+{1 \over 6}z^{3}+{1 \over 24}z^{5}+{1 \over 112}z^{7}+\cdots \right)}$$

Una forma mucho más sencilla de resolver esta ecuación (y la solución de la serie de potencias en general) es utilizar la forma de desarrollo de la serie de Taylor . Aquí suponemos que la respuesta tiene la forma $${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }{A_{k}z^{k} \over {k!}}}$$

Si hacemos esto, la regla general para obtener la relación de recurrencia para los coeficientes es y $${\displaystyle y^{[n]}\to A_{k+n}}$$$${\displaystyle x^{m}y^{[n]}\to (k)(k-1)\cdots (k-m+1)A_{k+n-m}}$$

En este caso podemos resolver la ecuación de Hermite en menos pasos: se convierte en o en la serie $${\displaystyle f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda =1}$$$${\displaystyle A_{k+2}-2kA_{k}+\lambda A_{k}=0}$$$${\displaystyle A_{k+2}=(2k-\lambda )A_{k}}$$$${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }{A_{k}z^{k} \over {k!}}}$$

El método de series de potencias se puede aplicar a ciertas ecuaciones diferenciales no lineales , aunque con menos flexibilidad. Una clase muy grande de ecuaciones no lineales se puede resolver analíticamente utilizando el método de Parker-Sochacki . Dado que el método de Parker-Sochacki implica una expansión del sistema original de ecuaciones diferenciales ordinarias a través de ecuaciones auxiliares, no se lo conoce simplemente como el método de series de potencias. El método de Parker-Sochacki se realiza antes del método de series de potencias para hacer posible el método de series de potencias en muchos problemas no lineales. Un problema de EDO se puede expandir con las variables auxiliares que hacen que el método de series de potencias sea trivial para un sistema equivalente y más grande. Expandir el problema de EDO con variables auxiliares produce los mismos coeficientes (ya que la serie de potencias para una función es única) a costa de calcular también los coeficientes de las ecuaciones auxiliares. Muchas veces, sin usar variables auxiliares, no hay una forma conocida de obtener la serie de potencias para la solución de un sistema, por lo tanto, el método de series de potencias solo es difícil de aplicar a la mayoría de las ecuaciones no lineales.

El método de series de potencias dará soluciones solo a problemas de valor inicial (a diferencia de los problemas de valor límite ), esto no es un problema cuando se trabaja con ecuaciones lineales, ya que la solución puede generar múltiples soluciones linealmente independientes que pueden combinarse (por superposición ) para resolver también problemas de valor límite. Una restricción adicional es que los coeficientes de la serie se especificarán mediante una recurrencia no lineal (las no linealidades se heredan de la ecuación diferencial).

Para que el método de solución funcione, como en las ecuaciones lineales, es necesario expresar cada término de la ecuación no lineal como una serie de potencias para que todos los términos puedan combinarse en una serie de potencias.

Como ejemplo, considere el problema de valor inicial que describe una solución al flujo impulsado por capilaridad en una ranura. Hay dos no linealidades: el primer y el segundo término involucran productos. Los valores iniciales se dan en , lo que indica que la serie de potencias debe configurarse como: ya que de esta manera, lo que hace que los valores iniciales sean muy fáciles de evaluar. Es necesario reescribir la ecuación ligeramente a la luz de la definición de la serie de potencias, de modo que el tercer término contenga la misma forma que se muestra en la serie de potencias. $${\displaystyle FF''+2F'^{2}+\eta F'=0\quad ;\quad F(1)=0\ ,\ F'(1)=-{\frac {1}{2}}}$$${\displaystyle \eta =1}$$${\displaystyle F(\eta )=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}(\eta -1)^{i}}$$$${\displaystyle \left.{\frac {d^{n}F}{d\eta ^{n}}}\right|_{\eta =1}=n!\ c_{n}}$$$${\displaystyle FF''+2F'^{2}+(\eta -1)F'+F'=0\quad ;\quad F(1)=0\ ,\ F'(1)=-{\frac {1}{2}}}$$${\displaystyle \eta -1}$

La última consideración es qué hacer con los productos; sustituir la serie de potencias en daría como resultado productos de series de potencias cuando es necesario que cada término sea su propia serie de potencias. Aquí es donde el producto de Cauchy es útil; sustituir la serie de potencias en la ecuación diferencial y aplicar esta identidad conduce a una ecuación donde cada término es una serie de potencias. Después de mucho reordenamiento, se obtiene la recurrencia, que especifica los valores exactos de los coeficientes de la serie. A partir de los valores iniciales, y , a partir de entonces se utiliza la recurrencia anterior. Por ejemplo, los siguientes coeficientes: $${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}\sum _{j=0}^{i}a_{i-j}b_{j}}$$$${\displaystyle \sum _{j=0}^{i}\left((j+1)(j+2)c_{i-j}c_{j+2}+2(i-j+1)(j+1)c_{i-j+1}c_{j+1}\right)+ic_{i}+(i+1)c_{i+1}=0}$$${\displaystyle c_{0}=0}$${\displaystyle c_{1}=-1/2}$$${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{6}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {1}{108}}\quad ;\quad c_{4}={\frac {7}{3240}}\quad ;\quad c_{5}=-{\frac {19}{48600}}\ \dots }$$

En este ejemplo se muestra una limitación de la solución de la serie de potencias. Una solución numérica del problema muestra que la función es suave y siempre decreciente a la izquierda de , y cero a la derecha. En , existe una discontinuidad de pendiente, una característica que la serie de potencias no es capaz de reproducir, por esta razón la solución de la serie continúa decreciente a la derecha de en lugar de convertirse repentinamente en cero. ${\displaystyle \eta =1}$${\displaystyle \eta =1}$${\displaystyle \eta =1}$

• Weisstein, Eric W. "Método Frobenius". MathWorld .

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: McGraw–Hill .
• Hille, Einar (1976). Ecuaciones diferenciales ordinarias en el dominio complejo . Mineola : Dover Publications .
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Lozi, R.; Pogonin, VA; Pchelintsev, AN (2016). "Un nuevo método numérico preciso de aproximación de soluciones caóticas de ecuaciones de modelos dinámicos con no linealidades cuadráticas" (PDF) . Caos, solitones y fractales . 91 : 108– 114. Bibcode :2016CSF....91..108L. doi :10.1016/j.chaos.2016.05.010.