Transformación de energía

En estadística , una transformación de potencia es una familia de funciones que se aplican para crear una transformación monótona de los datos mediante funciones de potencia . Es una técnica de transformación de datos que se utiliza para estabilizar la varianza , hacer que los datos se asemejen más a una distribución normal , mejorar la validez de las medidas de asociación (como la correlación de Pearson entre variables) y para otros procedimientos de estabilización de datos.

Las transformaciones de potencia se utilizan en múltiples campos, incluyendo el análisis de multirresolución y ondículas , ^{[ 1 ]} análisis de datos estadísticos, investigación médica, modelado de procesos físicos, ^{[ 2 ]} análisis de datos geoquímicos , ^{[ 3 ]} epidemiología ^{[ 4 ]} y muchas otras áreas de investigación clínica, ambiental y social.

La transformación de potencia se define como una función continua del parámetro de potencia λ , _que normalmente se da en forma de partes que la hace continua en el punto de singularidad ( _λ =  0  ). Para vectores de datos ( y1 _, ..., yn ) en los que cada yi > 0, la transformación de potencia es   

${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}{\dfrac {y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y))^{\lambda -1}}},&{\text{si }}\lambda \neq 0\\[12pt]\operatorname {GM} (y)\ln {y_{i}},&{\text{si }}\lambda =0\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle \operatorname {GM} (y)=\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{y_{1}y_{2}\cdots y_{n}}}\,}$

es la media geométrica de las observaciones y ₁ ,  ..., y _n . El caso para ${\displaystyle \lambda =0}$es el límite como${\displaystyle \lambda }$se aproxima a 0. Para ver esto, observe que${\displaystyle y_{i}^{\lambda }=\exp({\lambda \ln(y_{i})})=1+\lambda \ln(y_{i})+O((\lambda \ln(y_{i}))^{2})}$- utilizando la serie de Taylor . Entonces${\displaystyle {\dfrac {y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda }}=\ln(y_{i})+O(\lambda )}$y todo menos${\displaystyle \ln(y_{i})}$se vuelve insignificante para${\displaystyle \lambda }$suficientemente pequeño.

La inclusión de la potencia ( λ  − 1) de la media geométrica en el denominador simplifica la interpretación científica de cualquier ecuación que involucre ${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}}$, porque las unidades de medida no cambian a medida que cambia λ .

Box y Cox (1964) introdujeron la media geométrica en esta transformación incluyendo primero el jacobiano de la transformación de potencia reescalada.

${\displaystyle {\frac {y^{\lambda }-1}{\lambda }}.}$

con la probabilidad. Este jacobiano es el siguiente:

${\displaystyle J(\lambda ;y_{1},\ldots ,y_{n})=\prod _{i=1}^{n}|dy_{i}^{(\lambda )}/dy|=\prod _{i=1}^{n}y_{i}^{\lambda -1}=\operatorname {GM} (y)^{n(\lambda -1)}}$

Esto permite escribir la función de verosimilitud logarítmica normal en su valor máximo de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log({\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}))&=(-n/2)(\log(2\pi {\hat {\sigma }}^{2})+1)+n(\lambda -1)\log(\operatorname {GM} (y))\\[5pt]&=(-n/2)(\log(2\pi {\hat {\sigma }}^{2}/\operatorname {GM} (y)^{2(\lambda -1)})+1).\end{aligned}}}$

Desde aquí, absorbiendo${\displaystyle \operatorname {GM} (y)^{2(\lambda -1)}}$en la expresión para${\displaystyle {\sombrero {\sigma }}^{2}}$produce una expresión que establece que minimizar la suma de los cuadrados de los residuos de${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}}$es equivalente a maximizar la suma de la probabilidad logarítmica normal de las desviaciones de${\displaystyle (y^{\lambda }-1)/\lambda }$y el logaritmo del jacobiano de la transformación.

El valor en Y = 1 para cualquier λ es 0, y la derivada con respecto a Y en ese punto es 1 para cualquier λ . A veces, Y es una versión de alguna otra variable escalada para dar Y = 1 en algún tipo de valor promedio.

La transformación es una transformación de potencia , pero realizada de tal manera que se vuelve continua con el parámetro λ en λ = 0. Ha demostrado ser popular en el análisis de regresión , incluyendo la econometría .

Box y Cox también propusieron una forma más general de la transformación que incorpora un parámetro de desplazamiento.

${\displaystyle \tau (y_{i};\lambda ,\alpha )={\begin{cases}{\dfrac {(y_{i}+\alpha )^{\lambda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y+\alpha ))^{\lambda -1}}}&{\text{si }}\lambda \neq 0,\\\\\operatorname {GM} (y+\alpha )\ln(y_{i}+\alpha )&{\text{si }}\lambda =0,\end{cases}}}$

lo cual se cumple si y _i  +  α > 0 para todo i . Si τ( Y , λ, α) sigue una distribución normal truncada , entonces se dice que Y sigue una distribución de Box-Cox . 

Bickel y Doksum eliminaron la necesidad de utilizar una distribución truncada al extender el rango de la transformación a todos los valores de y , de la siguiente manera:

${\displaystyle \tau (y_{i};\lambda ,\alpha )={\begin{cases}{\dfrac {\operatorname {sgn} (y_{i}+\alpha )|y_{i}+\alpha |^{\lambda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y+\alpha ))^{\lambda -1}}}&{\text{if }}\lambda \neq 0,\\\\\operatorname {GM} (y+\alpha )\operatorname {sgn} (y+\alpha )\ln(y_{i}+\alpha )&{\text{if }}\lambda =0,\end{cases}}}$

donde sgn(.) es la función signo . Este cambio en la definición tiene poca importancia práctica siempre que${\displaystyle \alpha }$es menor que${\displaystyle \operatorname {min} (y_{i})}$, que suele ser así. ^{[ 5 ]}

Bickel y Doksum también demostraron que las estimaciones de los parámetros son consistentes y asintóticamente normales bajo condiciones de regularidad apropiadas, aunque la cota inferior estándar de Cramér-Rao puede subestimar sustancialmente la varianza cuando los valores de los parámetros son pequeños en relación con la varianza del ruido. ^{[ 5 ]} Sin embargo, este problema de subestimación de la varianza puede no ser un problema sustancial en muchas aplicaciones. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Las transformaciones Box-Cox de un parámetro se definen como

${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}{\dfrac {y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda }}&{\text{si }}\lambda \neq 0,\\\ln y_{i}&{\text{si }}\lambda =0,\end{cases}}}$

y las transformaciones de Box-Cox de dos parámetros como

${\displaystyle y_{i}^{({\boldsymbol {\lambda }})}={\begin{cases}{\dfrac {(y_{i}+\lambda _{2})^{\lambda _{1}}-1}{\lambda _{1}}}&{\text{si }}\lambda _{1}\neq 0,\\\ln(y_{i}+\lambda _{2})&{\text{si }}\lambda _{1}=0,\end{cases}}}$

como se describe en el artículo original. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Además, las primeras transformaciones se cumplen para${\displaystyle y_{i}>0}$y el segundo para${\displaystyle y_{i}>-\lambda _{2}}$. ^{[ 8 ]}

El parámetro${\displaystyle \lambda }$se estima utilizando la función de verosimilitud de perfil y mediante pruebas de bondad de ajuste. ^{[ 10 ]}

La transformación de Yeo-Johnson ^{[ 15 ]} también permite valores cero y negativos de${\displaystyle y}$. ${\displaystyle \lambda }$puede ser cualquier número real, donde${\displaystyle \lambda =1}$produce la transformación de la identidad. La ley de transformación dice:

${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}((y_{i}+1)^{\lambda }-1)/\lambda &{\text{if }}\lambda \neq 0,y\geq 0\\[4pt]\ln(y_{i}+1)&{\text{if }}\lambda =0,y\geq 0\\[4pt]-((-y_{i}+1)^{(2-\lambda )}-1)/(2-\lambda )&{\text{if }}\lambda \neq 2,y<0\\[4pt]-\ln(-y_{i}+1)&{\text{if }}\lambda =2,y<0\end{cases}}}$

La transformación de Box-Tidwell es una técnica estadística que se utiliza para evaluar y corregir la no linealidad entre las variables predictoras y el logit en un modelo lineal generalizado , especialmente en la regresión logística . Esta transformación resulta útil cuando la relación entre las variables independientes y la variable de respuesta no es lineal y no puede ser capturada adecuadamente por el modelo estándar.

La transformación de potencia aparece con diferentes nombres en diversos contextos científicos y aplicados:

• Transformación Box-Cox – como se mencionó anteriormente .

• Equidad alfa : introducida en el estudio de la maximización de la utilidad de la red por Frank Kelly y colaboradores como la familia de funciones de utilidad α-justas. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

• Entropía de Tsallis : una generalización de la entropía de Shannon propuesta en mecánica estadística no extensiva, que se reduce a la entropía de Shannon cuando el parámetro de Tsallis converge a 1.

• Familia q-exponencial : una generalización de la familia exponencial estándar que reemplaza la función exponencial con la forma q-exponencial derivada de la estadística de Tsallis. ^{[ 18 ]}

• Box, George EP ; Cox, DR (1964). " Análisis de transformaciones". Journal of the Royal Statistical Society, Serie B. 26 ( 2): 211– 252. JSTOR 2984418. MR 0192611 .  
• Carroll, RJ; Ruppert, D. (1981). "Sobre la predicción y la familia de transformaciones de potencia" (PDF) . Biometrika . 68 (3): 609– 615. doi : 10.1093/biomet/68.3.609 .
• DeGroot, MH (1987). "Una conversación con George Box" (PDF) . Statistical Science . 2 (3): 239– 258. doi : 10.1214/ss/1177013223 .
• Handelsman, DJ (2002). "Transformaciones de potencia óptimas para el análisis de la concentración de espermatozoides y otras variables del semen". Journal of Andrology . 23 (5).
• Gluzman, S.; Yukalov, VI (2006). "Transformaciones de potencia autosimilares en problemas de extrapolación". Journal of Mathematical Chemistry . 39 (1): 47– 56. arXiv : cond-mat/0606104 . Bibcode : 2006cond.mat..6104G . doi : 10.1007/s10910-005-9003-7 . S2CID 118965098 . 
• Howarth, RJ; Earle, SAM (1979). "Aplicación de una transformación de potencia generalizada a datos geoquímicos". Journal of the International Association for Mathematical Geology . 11 (1): 45– 62. doi : 10.1007/BF01043245 . S2CID 121582755 . 
• Box, GEP y Tidwell, PW (1962) Transformación de variables independientes. Technometrics, 4, 531-550. https://doi.org/10.1080/00401706.1962.10490038 (también conocida como transformación de Box-Tidwell)

• Nishii, R. (2001) [1994], "Transformación de Box-Cox" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press( enlace fijo )
• Sanford Weisberg, Transformaciones de Energía Yeo-Johnson