Teoremas de Prüfer

En matemáticas , dos teoremas de Prüfer , que llevan el nombre de Heinz Prüfer , describen la estructura de ciertos grupos abelianos infinitos . Estos teoremas fueron generalizados por L. Ya. Kulikov.

Sea A un grupo abeliano. Si A es finitamente generado, entonces, por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados , A se puede descomponer en una suma directa de subgrupos cíclicos , lo que lleva a la clasificación de los grupos abelianos finitamente generados salvo isomorfismo . La estructura de los grupos abelianos infinitos generales puede ser considerablemente más compleja y la conclusión no tiene por qué cumplirse, pero Prüfer demostró que sigue siendo válida para grupos periódicos en dos casos especiales.

El primer teorema de Prüfer establece que un grupo abeliano de exponente acotado es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos. El segundo teorema de Prüfer establece que un p -grupo abeliano numerable cuyos elementos no triviales tienen altura p finita es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos. Los ejemplos demuestran que la condición de que el grupo sea numerable no puede eliminarse.

Los dos teoremas de Prüfer se derivan de un criterio general de descomponibilidad de un grupo abeliano en una suma directa de subgrupos cíclicos debido a L. Ya. Kulikov:

Un p -grupo abeliano A es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos si y solo si es una unión de una secuencia { A _i } de subgrupos con la propiedad de que las alturas de todos los elementos de A _i están acotadas por una constante (posiblemente dependiendo de i ).

• László Fuchs (1970), Grupos abelianos infinitos, Vol. I. Matemáticas Puras y Aplicadas, Vol. 36. Nueva York-Londres: Academic Press MR 0255673 
• Kurosh, AG (1960), La teoría de los grupos , Nueva York: Chelsea, MR 0109842