Álgebra pre-Lie

En matemáticas , un álgebra pre-Lie es una estructura algebraica en un espacio vectorial que describe algunas propiedades de objetos como árboles con raíces y campos vectoriales en el espacio afín .

La noción de álgebra pre-Lie fue introducida por Murray Gerstenhaber en su trabajo sobre deformaciones de álgebras.

Las álgebras pre-Lie han sido consideradas bajo otros nombres, entre los que se pueden citar álgebras simétricas por la izquierda, álgebras simétricas por la derecha o álgebras de Vinberg.

Un álgebra pre-Lie es un espacio vectorial con una función lineal , que satisface la relación ${\displaystyle (V,\triánguloizquierdo)}$${\estilo de visualización V}$ ${\displaystyle \triangleleft :V\otimes V\to V}$${\displaystyle (x\triángulo izquierdo y)\triángulo izquierdo zx\triángulo izquierdo (y\triángulo izquierdo z)=(x\triángulo izquierdo z)\triángulo izquierdo yx\triángulo izquierdo (z\triángulo izquierdo y).}$

Esta identidad puede verse como la invariancia del asociador bajo el intercambio de las dos variables y . ${\displaystyle (x,y,z)=(x\triángulo izquierdo y)\triángulo izquierdo zx\triángulo izquierdo (y\triángulo izquierdo z)}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización z}$

Toda álgebra asociativa es, por lo tanto, también un álgebra pre-Lie, ya que el asociador se anula de forma idéntica. Aunque más débil que la asociatividad, la relación definitoria de un álgebra pre-Lie implica que el conmutador es un corchete de Lie . En particular, la identidad de Jacobi para el conmutador se deduce del ciclado de los términos en la relación definitoria para álgebras pre-Lie, antes mencionada. ${\displaystyle x\triánguloizquierdo yy\triánguloizquierdo x}$${\estilo de visualización x,y,z}$

Sea un entorno abierto de , parametrizado por variables . Dados los campos vectoriales , definimos . ${\displaystyle U\subconjunto \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x_{1},\cpuntos ,x_{n}}$${\displaystyle u=u_{i}\parcial _{x_{i}}}$${\ Displaystyle v = v_ {j} \ parcial _ {x_ {j}}}$${\displaystyle u\triangleleft v=v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\partial _{x_{i}}}$

La diferencia entre y , es que es simétrica en y . Por lo tanto, define una estructura del álgebra anterior a Lie. ${\displaystyle (u\triángulo izquierdo v)\triángulo izquierdo w}$${\displaystyle u\triánguloizquierdo (v\triánguloizquierdo w)}$${\displaystyle (u\triángulo izquierdo v)\triángulo izquierdo wu\triángulo izquierdo (v\triángulo izquierdo w)=v_{j}w_{k}{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}\partial _{x_{i}}}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización w}$${\displaystyle \triánguloizquierdo}$

Dada una variedad y homeomorfismos de a vecindarios abiertos superpuestos de , cada uno define una estructura de álgebra de pre-Lie sobre campos vectoriales definidos en la superposición. Si bien no necesariamente concuerdan con , sus conmutadores sí concuerdan: , el corchete de Lie de y . ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización \phi ,\phi '}$${\displaystyle U,U'\subconjunto \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \triángulo izquierdo ,\triángulo izquierdo '}$${\displaystyle \triánguloizquierdo}$${\displaystyle \triánguloizquierdo '}$${\displaystyle u\triánguloizquierdo vv\triánguloizquierdo u=u\triánguloizquierdo 'vv\triánguloizquierdo 'u=[v,u]}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización u}$

Sea el espacio vectorial libre abarcado por todos los árboles enraizados. ${\displaystyle \mathbb {T}}$

Se puede introducir un producto bilineal de la siguiente manera. Sean y dos árboles con raíz. ${\displaystyle \curvearrowleft}$${\displaystyle \mathbb {T}}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau_{2}}$

${\displaystyle \tau _{1}\curvearrowleft \tau _{2}=\sum _{s\in \mathrm {Vértices} (\tau _{1})}\tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}}$

donde es el árbol enraizado que se obtiene sumando a la unión disjunta de y una arista que va del vértice de al vértice raíz de . ${\displaystyle \tau_{1}\circ_{s}\tau_{2}}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau_{2}}$${\estilo de visualización s}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau_{2}}$

Entonces, se trata de un álgebra libre previa a Lie en un generador. En términos más generales, el álgebra libre previa a Lie en cualquier conjunto de generadores se construye de la misma manera a partir de árboles con cada vértice etiquetado por uno de los generadores. ${\displaystyle (\mathbb {T},\curvearrowleft)}$

• Chapoton, F.; Livernet, M. (2001), "Álgebras pre-Lie y árboles enraizados operados", International Mathematics Research Notices , 2001 (8): 395–408, doi : 10.1155/S1073792801000198 , MR  1827084.
• Szczesny, M. (2010), Álgebras pre-Lie y categorías de incidencia de árboles con raíces coloreadas , vol. 1007, pág. 4784, arXiv : 1007.4784 , Bibcode :2010arXiv1007.4784S.