Determinación de la órbita

La determinación de órbitas consiste en estimar las órbitas de objetos como lunas, planetas y naves espaciales. Una de sus principales aplicaciones es el seguimiento de asteroides recién descubiertos y la verificación de que no hayan sido detectados previamente. Los métodos básicos se descubrieron en el siglo XVII y se han perfeccionado continuamente.

Las observaciones son los datos brutos que se introducen en los algoritmos de determinación de órbita. Las observaciones realizadas por un observador terrestre suelen consistir en valores de acimut , elevación , alcance y/o velocidad radial con marca de tiempo . Se utilizan telescopios o radares , ya que las observaciones a simple vista son insuficientes para una determinación precisa de la órbita. Con más observaciones o de mejor calidad, la precisión del proceso de determinación de órbita también mejora y se reducen las falsas alarmas .

Una vez determinadas las órbitas, se pueden utilizar técnicas de propagación matemática para predecir las posiciones futuras de los objetos en órbita. Con el paso del tiempo, la trayectoria real de un objeto en órbita tiende a divergir de la trayectoria prevista (especialmente si el objeto está sujeto a perturbaciones difíciles de predecir, como la resistencia atmosférica ), y una nueva determinación de la órbita mediante nuevas observaciones sirve para recalibrar el conocimiento de la misma.

El seguimiento de satélites es otra aplicación importante. Para Estados Unidos y sus países socios, en la medida en que lo permiten los recursos ópticos y de radar , el Centro Conjunto de Operaciones Espaciales recopila observaciones de todos los objetos en órbita terrestre. Estas observaciones se utilizan en los cálculos de determinación de nuevas órbitas, lo que mantiene la precisión general del catálogo de satélites . Los cálculos para evitar colisiones pueden utilizar estos datos para calcular la probabilidad de que un objeto en órbita colisione con otro. El operador de un satélite puede decidir ajustar la órbita si el riesgo de colisión en la órbita actual es inaceptable. (No es posible ajustar la órbita para eventos de muy baja probabilidad; esto agotaría rápidamente el combustible que el satélite transporta para el mantenimiento de la posición orbital ). Otros países, como Rusia y China , cuentan con recursos de seguimiento similares.

Historia

La determinación de las órbitas tiene una larga historia, que se remonta al descubrimiento prehistórico de los planetas y a los posteriores intentos de predecir sus movimientos. Johannes Kepler utilizó las minuciosas observaciones de Marte realizadas por Tycho Brahe para deducir la forma elíptica de su órbita y su orientación en el espacio, derivando así sus tres leyes del movimiento planetario .

Los métodos matemáticos para la determinación de órbitas se originaron con la publicación en 1687 de la primera edición de los Principia de Newton , que proporcionaba un método para hallar la órbita de un cuerpo que seguía una trayectoria parabólica a partir de tres observaciones. ^[¹^] Este método fue utilizado por Edmund Halley para establecer las órbitas de varios cometas , incluido el que lleva su nombre. El método de aproximación sucesiva de Newton fue formalizado en un método analítico por Euler en 1744, cuyo trabajo, a su vez, fue generalizado a órbitas elípticas e hiperbólicas por Lambert entre 1761 y 1777.

Otro hito en la determinación de órbitas fue la contribución de Carl Friedrich Gauss al descubrimiento del planeta enano Ceres en 1801. El método de Gauss permitió, con tan solo tres observaciones (en forma de coordenadas celestes ), hallar los seis elementos orbitales que describen completamente una órbita. Posteriormente, la teoría de la determinación de órbitas se ha desarrollado hasta el punto de aplicarse hoy en día en receptores GPS , así como en el seguimiento y la catalogación de planetas menores recién descubiertos .

Datos de observación

Para determinar la órbita desconocida de un cuerpo, se requieren algunas observaciones de su movimiento a lo largo del tiempo. En los inicios de la astronomía moderna, los únicos datos de observación disponibles para los objetos celestes eran la ascensión recta y la declinación , obtenidas al observar el cuerpo mientras se movía en su arco de observación , en relación con las estrellas fijas , utilizando un telescopio óptico . Esto equivale a conocer la dirección relativa del objeto en el espacio, medida desde el observador, pero sin conocer la distancia del objeto; es decir, la medición resultante contiene solo información de dirección, como un vector unitario .

Con el radar , es posible realizar mediciones de distancia relativa (mediante la sincronización del eco del radar) y de velocidad relativa (mediante la medición del efecto Doppler del eco del radar) utilizando radiotelescopios . Sin embargo, la intensidad de la señal recibida por el radar disminuye rápidamente, como la cuarta potencia inversa de la distancia al objeto. Esto generalmente limita las observaciones de radar a objetos relativamente cercanos a la Tierra, como satélites artificiales y objetos cercanos a la Tierra . La emisión de radio activa de un objeto (como una radiobaliza o un transpondedor ) presenta una reducción de intensidad menor, proporcional al cuadrado inverso de la distancia. Las aperturas más grandes permiten el seguimiento de transpondedores en naves espaciales interplanetarias en todo el Sistema Solar y la astronomía de radar de cuerpos naturales.

Diversas agencias espaciales y proveedores comerciales operan redes de seguimiento para proporcionar estas observaciones. Consulte la categoría: Redes de espacio profundo para obtener una lista parcial. También se realiza regularmente el seguimiento de satélites desde el espacio. Consulte la lista de radiotelescopios#Redes espaciales y de seguimiento espacial .

Un satélite que intenta determinar su propia órbita puede utilizar un sistema de navegación hiperbólica para los vectores de estado (posición y velocidad), así como para el tiempo. El sistema francés DORIS está diseñado para este propósito y consta de numerosas estaciones terrestres emisoras. Los sistemas de navegación por satélite originalmente utilizados en tierra también pueden emplearse para este fin, especialmente para órbitas LEO y SSO. ^{[ 2 ]}

Métodos

La determinación de la órbita debe tener en cuenta que el movimiento celeste aparente del cuerpo está influenciado por el movimiento del observador. Por ejemplo, un observador en la Tierra que rastrea un asteroide debe considerar el movimiento de la Tierra alrededor del Sol , la rotación de la Tierra y su latitud y longitud locales, ya que estos factores afectan la posición aparente del cuerpo.

Una observación clave es que (con bastante precisión) todos los objetos se mueven en órbitas que son secciones cónicas , con el cuerpo atractor (como el Sol o la Tierra) en el foco primario , y que la órbita se encuentra en un plano fijo. Los vectores trazados desde el cuerpo atractor hacia el cuerpo en diferentes momentos estarán todos en el plano orbital .

Si se dispone de la posición y la velocidad relativas al observador (como en el caso de las observaciones de radar), estos datos observacionales pueden ajustarse mediante la posición y la velocidad conocidas del observador con respecto al cuerpo atractor en el momento de la observación. Esto permite obtener la posición y la velocidad con respecto al cuerpo atractor. Si se dispone de dos observaciones de este tipo, junto con la diferencia de tiempo entre ellas, la órbita puede determinarse mediante el método de Lambert, inventado en el siglo XVIII. Véase el problema de Lambert para más detalles.

Aunque no se disponga de información sobre la distancia, aún se puede determinar una órbita si se han realizado tres o más observaciones de la ascensión recta y la declinación del cuerpo celeste. El método de Gauss , que se hizo famoso con su "recuperación" en 1801 del primer planeta menor perdido , Ceres , ha sido perfeccionado posteriormente.

Una de sus aplicaciones consiste en la determinación de las masas de asteroides mediante el método dinámico . En este procedimiento, el método de Gauss se utiliza dos veces: antes y después de una interacción cercana entre dos asteroides. Una vez determinadas ambas órbitas, se puede calcular la masa de uno o ambos asteroides.

Determinación de la órbita a partir de un vector de estado

La tarea básica de determinación de órbitas consiste en determinar los elementos orbitales clásicos o elementos keplerianos , $a,e,i,\Omega,\omega,\nu$ , a partir de los vectores de estado orbital [ ${\vec {r}},{\vec {v}}$ ], de un cuerpo en órbita con respecto al sistema de referencia de su cuerpo central. Los cuerpos centrales son las fuentes de las fuerzas gravitatorias, como el Sol, la Tierra, la Luna y otros planetas. Los cuerpos en órbita, por otro lado, incluyen planetas alrededor del Sol, satélites artificiales alrededor de la Tierra y naves espaciales alrededor de planetas. Las leyes del movimiento de Newton explicarán la trayectoria de un cuerpo en órbita, conocida como órbita kepleriana .

Los pasos para la determinación de la órbita a partir de un vector de estado se resumen de la siguiente manera:

Calcular el momento angular específico ${\vec {h}}$ del cuerpo en órbita a partir de su vector de estado: ${\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}=\left|{\vec {h}}\right|{\vec {k}}=h{\vec {k}},$ dónde ${\vec {k}}$ es el vector unitario del eje z del plano orbital. El momento angular específico es un vector constante para un cuerpo en órbita, cuya dirección es perpendicular al plano orbital de dicho cuerpo.
Calcula el vector de nodos ascendentes ${\vec {n}}$ de ${\vec {h}}$ , con ${\vec {K}}$ representando el vector unitario del eje Z del plano de referencia, que es perpendicular al plano de referencia del cuerpo central: ${\vec {n}}={\vec {K}}\times {\vec {h}}.$ El vector del nodo ascendente es un vector que apunta desde el cuerpo central hacia el nodo ascendente del plano orbital del cuerpo en órbita. Dado que la línea del nodo ascendente es la línea de intersección entre el plano orbital y el plano de referencia, es perpendicular a ambos vectores normales del plano de referencia ( ${\vec {K}}$ ) y el plano orbital ( ${\vec {k}}$ o ${\vec {h}}$ Por lo tanto, el vector nodal ascendente se puede definir mediante el producto vectorial de estos dos vectores.
Calcula el vector de excentricidad. ${\vec {e}}$ de la órbita. El vector de excentricidad tiene la magnitud de la excentricidad , $e$ , de la órbita, y apunta a la dirección del periapsis de la órbita. Esta dirección se define a menudo como el eje x del plano orbital y tiene un vector unitario. ${\vec {i}}$ Según la ley del movimiento, se puede expresar como: ${\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r}} \over {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{{\vec {r}}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\right]\end{aligned}}$ $e=\left|{\vec {e}}\right|$ dónde $\mu =GM$ es el parámetro gravitacional estándar para el cuerpo central de masa $M$ , y $G$ es la constante gravitacional universal .
Calcular el semi-lato recto $p$ de la órbita y su semieje mayor $a$ (si no es una órbita parabólica , donde $e=1$ y $a$ es indefinido o definido como infinito): $p={\frac {h^{2}}{\mu }}=a(1-e^{2})$ $a={\frac {p}{1-e^{2}}},$ (si $e\neq 1$ ).
Calcula la inclinación $i$ del plano orbital con respecto al plano de referencia: ${\begin{aligned}\cos(i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\arccos \left({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}\right),&i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned}}$ dónde $h_{K}$ es la coordenada Z de ${\vec {h}}$ cuando se proyecta al marco de referencia.
Calcular la longitud del nodo ascendente $\Omega$ , que es el ángulo entre la línea ascendente y el eje X del sistema de referencia: ${\begin{aligned}\cos(\Omega )&={\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}={\frac {n_{I}}{n}}=\cos(360-\Omega )\\\Rightarrow \Omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}\right)=\Omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \Omega &=360^{\circ }-\Omega _{0},{\text{ if }}n_{J}<0,\\\end{aligned}}$ dónde $n_{I}$ y $n_{J}$ son las coordenadas X e Y, respectivamente, de ${\vec {n}}$ , en el marco de referencia.
Observa que $\cos(A)=\cos(-A)=\cos(360-A)=C$ , pero $\arccos(C)$ está definido solo en [0,180] grados. Por lo tanto, $\arccos(C)$ es ambiguo porque hay dos ángulos, $A$ y $360-A$ en [0,360], que tienen el mismo $\cos$ valor. En realidad podría devolver el ángulo $A$ o $360-A$ Por lo tanto, debemos realizar el juicio basándonos en el signo de la coordenada Y del vector en el plano donde se mide el ángulo. En este caso, $n_{J}$ puede utilizarse para tal juicio.
Calcula el argumento del periapsis. $\omega$ , que es el ángulo entre el periapsis y la línea ascendente: ${\begin{aligned}\cos(\omega )&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}=\cos(360-\omega )\\\Rightarrow \omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}\right)=\omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \omega &=360^{\circ }-\omega _{0},{\text{ if }}e_{K}<0,\\\end{aligned}}$ dónde $e_{K}$ es la coordenada Z de ${\vec {e}}$ en el marco de referencia.
Calcular la anomalía verdadera $\nu$ en la época, que es el ángulo entre el vector de posición y el periapsis en el momento particular ('época') de observación: ${\begin{aligned}\cos(\nu )&={\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}=\cos(360-\nu )\\\Rightarrow \nu &=\arccos \left({\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}\right)=\nu _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \nu &=360^{\circ }-\nu _{0},{\text{ if }}{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}<0.\\\end{aligned}}$ El signo de ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}$ se puede utilizar para comprobar el cuadrante de $\nu$ y corregir el $\arccos$ ángulo, porque tiene el mismo signo que el ángulo de trayectoria de vuelo $\phi$ . Y el signo del ángulo de la trayectoria de vuelo siempre es positivo cuando $\nu \in [0,180^{\circ }]$ y negativo cuando $\nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]$ . ^{[ 1 ]} Ambos están relacionados por $h=rv\sin(90-\phi )$ y ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos(90-\phi )=h\tan(\phi )$ .
Opcionalmente, podemos calcular el argumento de latitud. $u=\omega +\nu$ en la época, que es el ángulo entre el vector de posición y la línea ascendente en ese momento particular: ${\begin{aligned}\cos(u)&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}=\cos(360-u)\\\Rightarrow u&=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}\right)=u_{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow u&=360^{\circ }-u_{0},{\text{ if }}r_{K}<0,\\\end{aligned}}$ dónde $r_{K}$ es la coordenada Z de ${\vec {r}}$ en el marco de referencia.

Referencias

1 2 Bate RR, Mueller DD, White JE. Fundamentos de astrodinámica . Courier Corporation; 1971. Cap. 2 pág. 51 y siguientes.
↑ Gong, Xuewen; Guo, Lei; Wang, Fuhong; Zhang, Wanwei; Sang, Jizhang; Ge, Maorong; Schuh, Harald (11 de junio de 2019). "Determinación precisa de órbita en tiempo real a bordo con un receptor GPS/BDS de frecuencia única de bajo costo" . Remote Sensing . 11 (11): 1391. Bibcode : 2019RemS...11.1391G . doi : 10.3390/rs11111391 .

Lecturas adicionales

Curtis, H.; Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería , Capítulo 5; Elsevier (2005) ISBN 0-7506-6169-0.
Taff, L.; Mecánica celeste , capítulos 7 y 8; Wiley-Interscience (1985) ISBN 0-471-89316-1.
Bate, Mueller, White; Fundamentos de astrodinámica , capítulos 2 y 5; Dover (1971) ISBN 0-486-60061-0.
Madonna, R.; Mecánica orbital , Capítulo 3; Krieger (1997) ISBN 0-89464-010-0.
Schutz, Tapley, Born; Determinación estadística de órbitas , Academic Press. ISBN 978-0126836301
Determinación de la órbita de satélites , Coastal Bend College, Texas

[BateMuellerWhite-1] 1 2 Bate RR, Mueller DD, White JE. Fundamentos de astrodinámica . Courier Corporation; 1971. Cap. 2 pág. 51 y siguientes.

[2] Gong, Xuewen; Guo, Lei; Wang, Fuhong; Zhang, Wanwei; Sang, Jizhang; Ge, Maorong; Schuh, Harald (11 de junio de 2019). "Determinación precisa de órbita en tiempo real a bordo con un receptor GPS/BDS de frecuencia única de bajo costo" . Remote Sensing . 11 (11): 1391. Bibcode : 2019RemS...11.1391G . doi : 10.3390/rs11111391 .

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