Precursor (física)

Los precursores son patrones de onda característicos causados ​​por la dispersión de los componentes de frecuencia de un impulso a medida que se propaga a través de un medio. Clásicamente, los precursores preceden a la señal principal, aunque en ciertas situaciones también pueden seguirla. Los fenómenos de precursores existen para todo tipo de ondas, ya que su aparición depende únicamente de la prominencia de los efectos de dispersión en un modo de propagación de onda determinado. Esta falta de especificidad se ha confirmado mediante la observación de patrones de precursores en diferentes tipos de radiación electromagnética ( microondas , ^{[ 1 ]} luz visible , ^{[ 2 ]} y radiación de terahercios ^{[ 3 ]} ), así como en ondas superficiales de fluidos ^{[ 4 ]} y ondas sísmicas . ^{[ 5 ]}

Los precursores fueron predichos teóricamente por primera vez en 1914 por Arnold Sommerfeld para el caso de radiación electromagnética que se propaga a través de un dieléctrico neutro en una región de dispersión normal. ^{[ 6 ]} El trabajo de Sommerfeld fue ampliado en los años siguientes por Léon Brillouin , quien aplicó la aproximación del punto de silla para calcular las integrales involucradas. ^{[ 6 ]} Sin embargo, no fue hasta 1969 que los precursores fueron confirmados experimentalmente por primera vez para el caso de microondas que se propagan en una guía de ondas, ^{[ 1 ]} y gran parte del trabajo experimental que observa precursores en otros tipos de ondas solo se ha realizado desde el año 2000. Este retraso experimental se debe principalmente al hecho de que, en muchas situaciones, los precursores tienen una amplitud mucho menor que las señales que los originan (una cifra de referencia dada por Brillouin es seis órdenes de magnitud menor). ^{[ 6 ]} Como resultado, las confirmaciones experimentales solo pudieron hacerse después de que la tecnología estuviera disponible para detectar precursores.

Como fenómeno dispersivo, la amplitud a cualquier distancia y tiempo de una onda precursora que se propaga en una dimensión puede expresarse mediante la integral de Fourier.

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int {\hat {\zeta }}_{0}(\omega )\exp \left[-i\left(k(\omega )x-\omega t\right)\right]d\omega }$

dónde${\displaystyle {\sombrero {\zeta }}_{0}(\omega)}$es la transformada de Fourier del impulso inicial y la exponencial compleja${\displaystyle \exp \left[-i\left(k(\omega )x-\omega t\right)\right]}$representa las ondículas componentes individuales sumadas en la integral. Para tener en cuenta los efectos de la dispersión, la fase de la exponencial debe incluir la relación de dispersión (aquí, la${\displaystyle k(\omega )}$factor) para el medio particular en el que se propaga la onda.

The integral above can only be solved in closed form when idealized assumptions are made about the initial impulse and the dispersion relation, as in Sommerfeld's derivation below. In most realistic cases, numerical integration is required to compute the integral.

Assuming the initial impulse takes the form of a sinusoid turned on abruptly at time ${\displaystyle t=0}$,

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{rl}0&t<0\\\sin {\frac {2\pi t}{\tau }}&t\geq 0\end{array}}\right.,}$

then we can write the general-form integral given in the previous section as

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int e^{-i(k(\omega )x-\omega t)}{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

For simplicity, we assume the frequencies involved are all in a range of normal dispersion for the medium, and we let the dispersion relation take the form

${\displaystyle k(\omega )={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}}}$

where ${\displaystyle a^{2}={\frac {Nq^{2}}{m\epsilon _{0}\omega _{0}^{2}}}}$, ${\displaystyle N}$ being the number of atomic oscillators in the medium, ${\displaystyle q}$ and ${\displaystyle m}$ the charge and mass of each one, ${\displaystyle \omega _{0}}$ the natural frequency of the oscillators, and ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ the vacuum permittivity. This yields the integral

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left(x{\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}}-\omega t\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

To solve this integral, we first express the time in terms of the retarded time${\displaystyle t'=t-{\frac {x}{c}}}$, which is necessary to ensure that the solution does not violate causality by propagating faster than ${\displaystyle c}$. We also treat ${\displaystyle |\omega |}$ as large and ignore the ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\tau }}}$ term in deference to the second-order ${\displaystyle \omega }$ term. Lastly, we substitute ${\displaystyle \xi ={\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{2c}}x}$, getting

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left({\frac {\xi }{\omega }}+\omega t'\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

Rewriting this as

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i{\sqrt {\xi t'}}\left({\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {\xi }{t'}}}+\omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

and making the substitutions

${\displaystyle \omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}=e^{ik},\qquad {\frac {d\omega }{\omega }}=idk,\qquad {\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}=i{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}e^{-ik}dk}$

allows the integral to be transformed into

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {i}{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\int \exp \left[-2i{\sqrt {\xi t'}}\cos k\right]e^{-ik}dk,}$

where ${\displaystyle k}$ is simply a dummy variable, and, finally

${\displaystyle f(\xi ,t')={\frac {2\pi }{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}J_{1}\left(2{\sqrt {\xi t'}}\right),}$

where ${\displaystyle J_{1}}$ is a Bessel function of the first kind. This solution, which is an oscillatory function with amplitude and period that both increase with increasing time, is characteristic of a particular type of precursor known as the Sommerfeld precursor.^[7]

The stationary phase approximation can be used to analyze the form of precursor waves without solving the general-form integral given in the Basic Theory section above. The stationary phase approximation states that for any speed of wave propagation ${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$ determined from any distance ${\displaystyle x}$ and time ${\displaystyle t}$, the dominant frequency ${\displaystyle \omega _{D}}$ of the precursor is the frequency whose group velocity equals ${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$:

${\displaystyle v_{g}(\omega _{D})=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{\omega _{D}}={\frac {x}{t}}.}$

Por lo tanto, se puede determinar el período aproximado de una forma de onda precursora a una distancia y tiempo determinados calculando el período del componente de frecuencia que llegaría a esa distancia y tiempo en función de su velocidad de grupo. En una región de dispersión normal, los componentes de alta frecuencia tienen una velocidad de grupo mayor que los de baja frecuencia, por lo que el frente del precursor debería tener un período que corresponda al del componente de mayor frecuencia del impulso original; con el paso del tiempo, llegan componentes con frecuencias cada vez más bajas, por lo que el período del precursor se alarga progresivamente hasta que llega el componente de menor frecuencia. A medida que llegan más componentes, la amplitud del precursor también aumenta. El tipo particular de precursor caracterizado por un período y una amplitud crecientes se conoce como precursor de Sommerfeld de alta frecuencia .

En una región de dispersión anómala, donde los componentes de baja frecuencia tienen velocidades de grupo mayores que los de alta frecuencia, ocurre lo contrario: el inicio del precursor se caracteriza por un período largo, y el período de la señal disminuye con el tiempo. Este tipo de precursor se denomina precursor de Sommerfeld de baja frecuencia .

En ciertas situaciones de propagación de ondas (por ejemplo, ondas superficiales de fluidos), dos o más componentes de frecuencia pueden tener la misma velocidad de grupo para determinados rangos de frecuencia; esto suele ir acompañado de un extremo local en la curva de velocidad de grupo. Esto significa que, para ciertos valores de tiempo y distancia, la forma de onda precursora consistirá en una superposición de precursores de Sommerfeld de baja y alta frecuencia. Cualquier extremo local corresponde únicamente a frecuencias individuales, por lo que en estos puntos habrá una contribución de una señal precursora con un período constante; esto se conoce como precursor de Brillouin .