Endogeneidad (econometría)

En este caso, la endogeneidad proviene de una variable de confusión no controlada , una variable que está correlacionada tanto con la variable independiente del modelo como con el término de error. (De forma equivalente, la variable omitida afecta a la variable independiente y, por separado, a la variable dependiente).

Supongamos que el modelo "verdadero" que se va a estimar es

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\gamma z_{i}+u_{i}}$

pero${\displaystyle z_{i}}$se omite del modelo de regresión (quizás porque no hay forma de medirlo directamente). Entonces, el modelo que realmente se estima es

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i}}$

dónde${\displaystyle \varepsilon _ {i} = \ gamma z_ {i} + u_ {i}}$(por lo tanto, el${\displaystyle z_{i}}$el término ha sido absorbido por el término de error).

Si la correlación de${\displaystyle x}$y${\displaystyle z}$no es 0 y${\displaystyle z}$afecta por separado${\displaystyle y}$(significado${\displaystyle \gamma \neq 0}$), entonces${\displaystyle x}$está correlacionado con el término de error${\displaystyle \varepsilon }$.

Aquí,${\displaystyle x}$no es exógeno para${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$, puesto que, dado${\displaystyle x}$, la distribución de${\displaystyle y}$no depende solo de${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$pero también en${\displaystyle z}$y${\displaystyle \gamma }$.

Supongamos que una medida perfecta de una variable independiente es imposible. Es decir, en lugar de observar${\displaystyle x_{i}^{*}}$, lo que realmente se observa es${\displaystyle x_{i}=x_{i}^{*}+\nu _{i}}$dónde${\displaystyle \nu _{i}}$es el error de medición o "ruido". En este caso, un modelo dado por

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}^{*}+\varepsilon _{i}}$

puede escribirse en términos de observables y términos de error como

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=\alpha +\beta (x_{i}-\nu _{i})+\varepsilon _{i}\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+(\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+u_{i}\quad ({\text{donde }}u_{i}=\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\end{aligned}}}$

Dado que ambos${\displaystyle x_{i}}$y${\displaystyle u_{i}}$depender de${\displaystyle \nu _{i}}$, están correlacionados, por lo que la estimación MCO de${\displaystyle \beta }$estará sesgado a la baja.

Error de medición en la variable dependiente,${\displaystyle y_{i}}$, no causa endogeneidad, aunque sí aumenta la varianza del término de error.

Supongamos que dos variables están codeterminadas, y que cada una afecta a la otra según las siguientes ecuaciones "estructurales" :

${\displaystyle y_{i}=\beta _{1}x_{i}+\gamma _{1}z_{i}+u_{i}}$

${\displaystyle z_{i}=\beta _{2}x_{i}+\gamma _{2}y_{i}+v_{i}}$

Estimar cualquiera de las ecuaciones por sí sola da como resultado endogeneidad. En el caso de la primera ecuación estructural,${\displaystyle E(z_{i}u_{i})\neq 0}$. Resolviendo para${\displaystyle z_{i}}$mientras se asume que${\displaystyle 1-\gamma _{1}\gamma _{2}\neq 0}$resultados en

${\displaystyle z_{i}={\frac {\beta _{2}x_{i}+\gamma _{2}\beta _{1}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}x_{i}+{\frac {1}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}v_{i}+{\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}u_{i}}$.

Suponiendo que${\displaystyle x_{i}}$y${\displaystyle v_{i}}$no están correlacionados con${\displaystyle u_{i}}$,

${\displaystyle \operatorname {E} (z_{i}u_{i})={\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\operatorname {E} (u_{i}u_{i})\neq 0}$.

Por lo tanto, los intentos de estimar cualquiera de las ecuaciones estructurales se verán obstaculizados por la endogeneidad.

Sea el modelo y  = f ( x , z ) + u . Si la variable x es secuencialmente exógena para el parámetro    ${\displaystyle \alpha }$y y no causa x en el sentido de Granger , entonces la variable x es fuertemente/estrictamente exógena para el parámetro${\displaystyle \alpha }$.

La exogeneidad débil es un supuesto de identificación que requiere que el término de error estructural tenga una esperanza condicional cero dados los valores presentes y pasados ​​de los regresores. ^{[ 5 ]} Se utiliza para determinar si la inferencia estadística sobre los parámetros de interés puede extraerse válidamente a partir de un modelo de probabilidad condicional únicamente, sin necesidad de analizar la distribución marginal de las variables explicativas. ^{[ 6 ]} Si bien la exogeneidad estricta suele ser inverosímil en datos macroeconómicos y financieros debido a los efectos de retroalimentación , la exogeneidad débil es el supuesto de identificación estándar empleado en estos campos. ^{[ 5 ]}

El concepto fue formalizado por Jean-François Richard (1980) y analizado posteriormente por Robert F. Engle , David F. Hendry y Richard (1983) en Econometrica .

La variable${\displaystyle z_{t}}$es débilmente exógena para un conjunto de parámetros específicos de interés, denotado como${\displaystyle \psi =(\phi _{1},\phi _{2})}$, si la densidad marginal de${\displaystyle z_{t}}$no contiene información útil para estimar${\displaystyle \psi }$^{[ 6 ]} , es decir

• los parámetros de interés${\displaystyle \psi }$debe depender únicamente de los parámetros del modelo condicional (${\displaystyle \phi _{1}}$) y no en los parámetros del modelo marginal (${\displaystyle \phi _{2}}$)
• los parámetros${\displaystyle \phi _{1}}$y${\displaystyle \phi _{2}}$debe estar libre de variaciones. Esto significa que el rango permisible de valores para${\displaystyle \phi _{1}}$no depende de los valores tomados por${\displaystyle \phi _{2}}$

En un marco de regresión lineal definido por: ${\displaystyle z_{t}=x_{t}^{\top }\beta +\epsilon _{t}}$ dónde${\displaystyle z_{t}}$es la variable de resultado,${\displaystyle x_{t}}$son los regresores (que potencialmente contienen valores pasados ​​de${\displaystyle z_{t}}$), y${\displaystyle \epsilon _{t}}$es el término de error estructural, lo que implica que los errores son ortogonales a los regresores actuales y pasados. Esto se puede expresar mediante la siguiente condición de momento:

${\displaystyle \mathbb {E} [\epsilon _{t}\mid x_{t},x_{t-1},\dots ]=0}$

Esta condición permite que los errores se correlacionen con futuras realizaciones de los regresores, lo que facilita los mecanismos de retroalimentación en los que una variable de resultado en un período influye en los valores de los regresores en períodos futuros. ^{[ 5 ]}

Esto contrasta con la exogeneidad estricta , una suposición más restrictiva que requiere que el término de error tenga una esperanza condicional cero condicionada al conjunto completo de regresores, incluidos los valores pasados, presentes y futuros ^{[ 5 ]} , es decir ${\displaystyle \mathbb {E} [\epsilon _{t}\mid x_{0},x_{1},...,x_{T}]=0}$ dónde${\displaystyle T}$es el tamaño de la muestra .

De forma equivalente, la exogeneidad débil requiere que las variables explicativas y las variables de respuesta rezagadas estén predeterminadas , es decir, que se determinen antes del período actual.

Un ejemplo común de variable débilmente exógena es el consumo en modelos con restricciones crediticias y expectativas racionales . En este caso, el consumo está predeterminado, pero no es estrictamente exógeno. Un shock de ingresos negativo e impredecible no estará correlacionado con el consumo pasado (y potencialmente con el actual), pero sí con el consumo futuro; el individuo se verá obligado a ajustar su consumo futuro para adaptarse a su situación de pobreza, lo que genera correlación. Si el shock afecta al consumo actual, la predeterminación (definida ahora solo como rezagos) proporciona instrumentos potenciales : valores rezagados de la variable.

La presencia de variables predeterminadas es un factor motivador en el estimador de Arellano-Bond .