Impredicatividad

En matemáticas , lógica y filosofía de las matemáticas , una definición impredicativa es una definición autorreferencial . En términos generales, una definición es impredicativa si invoca (menciona o cuantifica) el conjunto que se define o (más comúnmente) otro conjunto que contiene lo que se define. No existe una definición precisa y generalmente aceptada de lo que significa ser predicativo o impredicativo. Los autores han ofrecido definiciones diferentes, pero relacionadas.

Lo opuesto a la impredicatividad es la predicatividad, que implica esencialmente la construcción de teorías estratificadas (o ramificadas) donde la cuantificación sobre un tipo en un "nivel" da como resultado tipos en un nuevo nivel superior. Un ejemplo prototípico es la teoría de tipos intuicionista , que conserva la ramificación (sin los niveles explícitos) para descartar la impredicatividad. Los "niveles" aquí corresponden al número de capas de dependencia en la definición de un término.

La paradoja de Russell es un ejemplo famoso de una construcción impredicativa: el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. La paradoja reside en que tal conjunto no puede existir: si existiera, cabría preguntarse si se contiene a sí mismo o no; si lo hace, por definición no debería, y si no lo hace, por definición sí debería.

La mayor cota inferior de un conjunto X , glb( X ) , también tiene una definición impredicativa: y = glb( X ) si y solo si para todos los elementos x de X , y es menor o igual que x , y cualquier z menor o igual que todos los elementos de X es menor o igual que y . Esta definición cuantifica sobre el conjunto (potencialmente infinito , dependiendo del orden en cuestión) cuyos miembros son las cotas inferiores de X , una de las cuales es la propia glb. Por lo tanto, el predicativismo rechazaría esta definición. ^{[ 1 ]}

Los términos "predicativo" e "impredicativo" fueron introducidos por Bertrand Russell , aunque su significado ha cambiado un poco desde entonces.

Solomon Feferman ofrece una revisión histórica de la predictividad, conectándola con problemas de investigación actuales pendientes. ^{[ 2 ]}

El principio del círculo vicioso fue sugerido por Henri Poincaré (1905–6, 1908) ^{[ 3 ]} y Bertrand Russell a raíz de las paradojas como un requisito para las especificaciones de conjuntos legítimos. Los conjuntos que no cumplen el requisito se denominan impredicativos .

La primera paradoja moderna apareció con la obra de Cesare Burali-Forti de 1897, Una cuestión sobre los números transfinitos ^{[ 4 ]} , y se conocería como la paradoja de Burali-Forti . Georg Cantor aparentemente había descubierto la misma paradoja en su teoría de conjuntos "ingenua" (la de Cantor) , y esta se conoció como la paradoja de Cantor . Russell tomó conciencia del problema en junio de 1901 ^{[ 5 ]} con su lectura del tratado de lógica matemática de Frege , su Begriffsschrift de 1879 ; la frase problemática en Frege es la siguiente:

Por otro lado, también puede ser que el argumento sea determinado y la función indeterminada. ^{[ 6 ]}

En otras palabras, dada f ( a ), la función f es la variable y a es la parte invariante. Entonces, ¿por qué no sustituir el valor f ( a ) por la propia f ? Russell le escribió rápidamente una carta a Frege señalando que:

Usted afirma que una función también puede actuar como elemento indeterminado. Esto lo creía anteriormente, pero ahora esta opinión me parece dudosa debido a la siguiente contradicción. Sea w el predicado: ser un predicado que no puede predicarse de sí mismo. ¿Puede predicarse w de sí mismo? De cada respuesta se deduce su opuesto. Por lo tanto, debemos concluir que w no es un predicado. Del mismo modo, no existe una clase (como totalidad) de aquellas clases que, cada una considerada como una totalidad, no se pertenezca a sí misma. De esto concluyo que, bajo ciertas circunstancias, una colección definible no forma una totalidad. ^{[ 7 ]}

Frege respondió rápidamente a Russell reconociendo el problema:

Tu descubrimiento de la contradicción me causó la mayor sorpresa y, casi diría, consternación, puesto que ha sacudido la base sobre la que pretendía construir la aritmética. ^{[ 8 ]}

Aunque el problema tuvo consecuencias personales adversas para ambos hombres (ambos tenían trabajos en imprenta que debían ser enmendados), van Heijenoort observa que «La paradoja sacudió el mundo de los lógicos, y sus repercusiones aún se sienten hoy. ... La paradoja de Russell, que utiliza las nociones básicas de conjunto y elemento, se enmarca de lleno en el campo de la lógica. La paradoja fue publicada por primera vez por Russell en Los principios de las matemáticas (1903) y se analiza allí con gran detalle...». ^{[ 9 ]} Russell, tras seis años de intentos fallidos, finalmente resolvería el asunto con su teoría de tipos de 1908 «proponiendo su axioma de reducibilidad . Este afirma que cualquier función es coextensiva con lo que él denomina una función predicativa : una función en la que los tipos de las variables aparentes no superan los tipos de los argumentos». ^{[ 10 ]} Pero este «axioma» encontró resistencia por doquier.

El rechazo de los objetos matemáticos definidos de forma impredicativa (aceptando los números naturales tal como se entienden clásicamente) conduce a la postura en la filosofía de las matemáticas conocida como predicativismo, defendida por Henri Poincaré y por Hermann Weyl en su obra Das Kontinuum . Poincaré y Weyl argumentaron que las definiciones impredicativas solo son problemáticas cuando uno o más conjuntos subyacentes son infinitos.

Ernst Zermelo, en su obra de 1908 «Una nueva prueba de la posibilidad de un buen ordenamiento » ^{[ 11 ],} presenta una sección completa titulada «b. Objeción relativa a la definición no predicativa », donde argumenta en contra de «Poincaré (1906, p.  307) [quien afirma que] una definición es "predicativa" y lógicamente admisible solo si excluye todos los objetos que dependen de la noción definida, es decir, que pueden ser determinados de alguna manera por ella». ^{[ 12 ]} Da dos ejemplos de definiciones impredicativas : (i) la noción de cadenas de Dedekind y (ii) «en análisis, siempre que se utilice el máximo o el mínimo de un conjunto de números Z previamente definido y "completo" para inferencias posteriores. Esto ocurre, por ejemplo, en la conocida prueba de Cauchy...». ^{[ 13 ]} Concluye su sección con la siguiente observación: «Una definición bien puede basarse en nociones equivalentes a la que se define; de ​​hecho, en toda definición, definiens y definiendum son nociones equivalentes, y la estricta observancia de la exigencia de Poincaré haría imposible toda definición, y por ende, toda la ciencia». ^{[ 14 ]}

El ejemplo de Zermelo sobre el mínimo y el máximo de un conjunto de números "completo" previamente definido reaparece en Kleene 1952:42-42, donde Kleene utiliza el ejemplo del límite superior mínimo en su análisis de las definiciones impredicativas; Kleene no resuelve este problema. En los siguientes párrafos, analiza el intento de Weyl en su obra de 1918, Das Kontinuum ( El continuo ), de eliminar las definiciones impredicativas y su fracaso en conservar el "teorema de que un conjunto arbitrario no vacío M de números reales que tiene un límite superior tiene un límite superior mínimo (véase también Weyl 1919)". ^{[ 15 ]}

Ramsey argumentó que las definiciones "impredicativas" pueden ser inofensivas: por ejemplo, la definición de "la persona más alta de la habitación" es impredicativa, ya que depende de un conjunto de cosas del cual es un elemento, a saber, el conjunto de todas las personas en la habitación. En cuanto a las matemáticas, un ejemplo de una definición impredicativa es el número más pequeño en un conjunto, que se define formalmente como: y = min( X ) si y solo si para todos los elementos x de X , y es menor o igual que x , e y está en X .

Burgess (2005) analiza con cierto detalle las teorías predicativas e impredicativas, en el contexto de la lógica de Frege , la aritmética de Peano , la aritmética de segundo orden y la teoría axiomática de conjuntos .

• Gödel, Escher, Bach
• Polimorfismo impredicativo
• Logicismo
• La paradoja de Richard

• Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.), "Definiciones predicativas e impredicativas" , Internet Encyclopedia of Philosophy , ISSN 2161-0002 , OCLC 37741658  
• Artículo de PlanetMath sobre el predicativismo
• John Burgess , 2005. Fixing Frege . Princeton Univ. Press.
• Solomon Feferman , 2005, " Predicatividad " en The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic . Oxford University Press: 590–624.
• Russell, B. (1907), "Sobre algunas dificultades en la teoría de los números transfinitos y los tipos de orden" , Proc. London Math. Soc. , s2–4 (1): 29–53 , doi : 10.1112/plms/s2-4.1.29
• Stephen C. Kleene 1952 (edición de 1971), Introducción a la metamatemática , North-Holland Publishing Company, Ámsterdam, NY, ISBN 0-7204-2103-9En particular, véase su §11 Las paradojas (pp.  36-40) y §12 Primeras inferencias a partir de las paradojas DEFINICIÓN IMPREDICATIVA (p.  42). Afirma que sus aproximadamente 6 ejemplos (famosos) de paradojas (antinomias) son todos ejemplos de definición impredicativa, y dice que Poincaré (1905-1906, 1908) y Russell (1906, 1910) "enunciaron que la causa de las paradojas reside en estas definiciones impredicativas" (p.  42), sin embargo, "partes de las matemáticas que queremos conservar, en particular el análisis, también contienen definiciones impredicativas" (ibíd.). Weyl en su obra de 1918 ("Das Kontinuum") intentó derivar la mayor cantidad de análisis posible sin el uso de definiciones impredicativas, "pero no el teorema de que un conjunto arbitrario no vacío M de números reales que tiene una cota superior tiene una cota superior mínima (véase también Weyl 1919)" (p.  43).
• Hans Reichenbach, 1947, Elementos de lógica simbólica , Dover Publications, Inc., Nueva York, ISBN 0-486-24004-5Cf. su §40. Las antinomias y la teoría de los tipos (pág.  218 — donde demuestra cómo crear antinomias, incluyendo la definición misma de impredicable («¿Es impredicable la definición de "impredicable"?»). Afirma mostrar métodos para eliminar las «paradojas de la sintaxis» («paradojas lógicas») — mediante el uso de la teoría de los tipos — y las «paradojas de la semántica» — mediante el uso del metalenguaje (su «teoría de los niveles del lenguaje»). Atribuye la sugerencia de esta noción a Russell y, más concretamente, a Ramsey.
• Jean van Heijenoort 1967, tercera edición 1976, De Frege a Gödel: Un libro de referencia en lógica matemática, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8(pbk.)
• Zermelo, E. (1908), "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung" , Mathematische Annalen (en alemán), 65 : 107– 128, doi : 10.1007/BF01450054 , JFM 38.0096.02