Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

gramática de pregrupos

La gramática de pregrupos (GP) es un formalismo gramatical íntimamente relacionado con las gramáticas categoriales . Al igual que la gramática categorial (GC), la GP es una espe...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

La gramática de pregrupos (GP) es un formalismo gramatical íntimamente relacionado con las gramáticas categoriales . Al igual que la gramática categorial (GC), la GP es una especie de gramática lógica de tipos . Sin embargo, a diferencia de la GC, la GP no posee un tipo de función distinguido . En cambio, la GP utiliza tipos inversos combinados con su operación monoidal.

Definición de un pregrupo

Un pregrupo es un álgebra parcialmente ordenada.(A,1,⋅,−l,−r,≤){\displaystyle (A,1,\cdot ,-^{l},-^{r},\leq )}de tal manera que(A,1,⋅){\displaystyle (A,1,\cdot )}es un monoide que satisface las siguientes relaciones:

  • incógnital⋅incógnita≤1incógnita⋅incógnitar≤1{\displaystyle x^{l}\cdot x\leq 1\qquad x\cdot x^{r}\leq 1}    (contracción)
  • 1≤incógnita⋅incógnital1≤incógnitar⋅incógnita{\displaystyle 1\leq x\cdot x^{l}\qquad 1\leq x^{r}\cdot x}    (expansión)

Las relaciones de contracción y expansión a veces se denominan leyes de Ajdukiewicz .

A partir de esto, se puede demostrar que se cumplen las siguientes ecuaciones:

  • 1l=1=1r{\displaystyle 1^{l}=1=1^{r}}
  • incógnitalr=incógnita=incógnitarl{\displaystyle x^{lr}=x=x^{rl}}
  • (incógnita⋅y)l=yl⋅incógnital(incógnita⋅y)r=yr⋅incógnitar{\displaystyle (x\cdot y)^{l}=y^{l}\cdot x^{l}\qquad (x\cdot y)^{r}=y^{r}\cdot x^{r}}

incógnital{\displaystyle x^{l}}yincógnitar{\displaystyle x^{r}}se denominan adjuntos izquierdo y derecho de x , respectivamente.

Los símbolos⋅{\displaystyle \cdot }y≤{\displaystyle \leq }También están escritos⊗{\displaystyle \otimes }y→{\displaystyle \to }respectivamente. En teoría de categorías , los pregrupos también se conocen como categorías autónomas [ 1 ] o categorías cerradas compactas (no simétricas) . [ 2 ] Más típicamente,incógnita⋅y{\displaystyle x\cdot y}simplemente se representará por adyacencia, es decir comoincógnitay{\displaystyle xy}.

Definición de una gramática de pregrupo

Una gramática de pregrupo consta de un léxico de palabras (y posiblemente morfemas ) L , un conjunto de tipos atómicos T que genera libremente un pregrupo y una relación:{\displaystyle :} que relaciona palabras con tipos. En gramáticas de pregrupo simples, la tipificación es una función que asigna palabras a un solo tipo cada una.

Ejemplos

Algunos ejemplos sencillos e intuitivos, utilizando el inglés como idioma de referencia, demuestran los principios fundamentales que subyacen a los pregrupos y su uso en ámbitos lingüísticos.

Sea L = { John, Mary, the, dog, cat, met, barked, at }, sea T = { N, S, N 0 }, y sea que se cumpla la siguiente relación de tipado:

John:norteMaría:norteel:norte⋅norte0lperro:norte0gato:norte0{\displaystyle {\textit {John}}:N\qquad {\textit {Mary}}:N\qquad {\textit {the}}:N\cdot N_{0}^{l}\qquad {\textit {dog}}:N_{0}\qquad {\textit {cat}}:N_{0}}
conocí:norter⋅S⋅nortelladró:norter⋅Sen:Sr⋅norterr⋅norter⋅S⋅nortel{\displaystyle {\textit {met}}:N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\qquad {\textit {barked}}:N^{r}\cdot S\qquad {\textit {at}}:S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}}

Se dice que una oración S que tiene tipo T es gramatical siT≤S{\displaystyle T\leq S}Podemos demostrar esto mediante el uso de una cadena de≤{\displaystyle \leq }Por ejemplo, podemos demostrar queJohn conocí María:norte⋅norter⋅S⋅nortel⋅norte{\displaystyle {\textit {John}}\ {\textit {met}}\ {\textit {Mary}}:N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N}es gramatical al demostrar quenorte⋅norter⋅S⋅nortel⋅norte≤S{\displaystyle N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N\leq S}:

norte⋅norter⋅S⋅nortel⋅norte ≤ S⋅nortel⋅norte ≤ S{\displaystyle N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N~\leq ~S\cdot N^{l}\cdot N~\leq ~S}

al usar primero la contracción ennorte⋅norter{\displaystyle N\cdot N^{r}}y luego de nuevo ennortel⋅norte{\displaystyle N^{l}\cdot N}Sin embargo, existe una notación más conveniente que indica las contracciones conectándolas con un enlace dibujado entre los tipos que se contraen (siempre que los enlaces estén anidados, es decir, que no se crucen). Las palabras también se colocan normalmente encima de sus tipos para que la demostración sea más intuitiva. La misma demostración en esta notación es simplemente

Un ejemplo más complejo demuestra que la frase "el perro le ladró al gato" es gramatical:

Notas históricas

Las gramáticas de pregrupo fueron introducidas por Joachim Lambek en 1993 como un desarrollo de su cálculo sintáctico , reemplazando los cocientes por adjuntos. [ 3 ] Dichos adjuntos ya habían sido utilizados anteriormente por Harris , pero sin adjuntos iterados ni reglas de expansión. Agregar tales adjuntos fue interesante para manejar casos lingüísticos más complejos, donde el hecho de queall≠a{\displaystyle a^{ll}\neq a}es necesario. También estuvo motivado por un punto de vista más algebraico: la definición de un pregrupo es un debilitamiento de la de un grupo , introduciendo una distinción entre los inversos izquierdo y derecho y reemplazando la igualdad por un orden. Este debilitamiento era necesario porque usar tipos de un grupo libre no funcionaría: un adjetivo obtendría el tiponorte⋅norte−1=1{\displaystyle N\cdot N^{-1}=1}, por lo tanto, podría insertarse en cualquier posición de la oración. [ 4 ]

Las gramáticas de pregrupo se han definido y estudiado para varios idiomas (o fragmentos de ellos), incluidos el inglés , [ 5 ] el italiano , [ 6 ] el francés , [ 7 ] el persa [ 8 ] y el sánscrito . [ 9 ] Los idiomas con un orden de palabras relativamente libre, como el sánscrito, requirieron la introducción de relaciones de conmutación al pregrupo, utilizando la preciclicidad.

Semántica de las gramáticas de pregrupo

Debido a la falta de tipos de funciones en PG, el método habitual para definir una semántica mediante el cálculo λ o mediante denotaciones de funciones no está disponible de forma evidente. En su lugar, existen dos métodos diferentes: uno puramente formal, que se corresponde con el cálculo λ, y otro denotacional, análogo a (un fragmento de) las matemáticas tensoriales de la mecánica cuántica .

Semántica puramente formal

La semántica puramente formal para PG consiste en un lenguaje lógico definido según las siguientes reglas:

  • Dado un conjunto de términos atómicos T = { a , b , ...} y símbolos de funciones atómicas F = { f m , g n , ...} (donde los subíndices son metanotacionales que indican aridad ), y variables x , y , ..., todas las constantes, variables y aplicaciones de funciones bien formadas son términos básicos (una aplicación de función está bien formada cuando el símbolo de función se aplica al número apropiado de argumentos, que pueden extraerse de los términos atómicos, variables o pueden ser otros términos básicos).
  • Cualquier término básico es un término
  • Dado cualquier variable x , [ x ] es un término
  • Dados cualesquiera términos m y n ,metro⋅norte{\displaystyle m\cdot n}es un término

Algunos ejemplos de términos son f ( x ), g ( a , h ( x , y )),gramo(incógnita,b)⋅[incógnita]{\displaystyle g(x,b)\cdot [x]}Una variable x es libre en un término t si [ x ] no aparece en t , y un término sin variables libres es un término cerrado. Los términos pueden tipificarse con tipos de pregrupo de la manera obvia.

Se aplican las convenciones habituales en cuanto a la conversión de α.

Para un idioma dado, asignamos una función I que mapea palabras tipadas a términos cerrados tipados de manera que se respete la estructura de pregrupo de los tipos. Por lo tanto, para el fragmento en inglés mencionado anteriormente, podríamos tener la siguiente función (con el conjunto obvio e implícito de términos atómicos y símbolos de función):

I(John:norte)=j:miI(María:norte)=metro:miI(thmi:norte⋅norte0l)=yo(pag)⋅[pag]:mi⋅mi0lI(dogramo:norte0)=dogramo:mi0I(doat:norte0)=doat:mi0I(metromit:norter⋅S⋅nortel)=[incógnita]⋅metromit(incógnita,y)⋅[y]:mir⋅T⋅milI(barkmid:norter⋅S)=[incógnita]⋅barkmid(incógnita):mir⋅TI(at:Sr⋅norterr⋅norter⋅S⋅nortel)=[incógnita]⋅y⋅[y]⋅at(incógnita,z)⋅[z]:Tr⋅mirr⋅mir⋅T⋅mil{\displaystyle {\begin{aligned}I({\textit {John}}:N)&=j:E\\I({\textit {Mary}}:N)&=m:E\\I(the:N\cdot N_{0}^{l})&=\iota (p)\cdot [p]:E\cdot E_{0}^{l}\\I(dog:N_{0})&=dog:E_{0}\\I(cat:N_{0})&=cat:E_{0}\\I(met:N^{r}\cdot S\cdot N^{l})&=[x]\cdot met(x,y)\cdot [y]:E^{r}\cdot T\cdot E^{l}\\I(barked:N^{r}\cdot S)&=[x]\cdot barked(x):E^{r}\cdot T\\I(at:S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l})&=[x]\cdot y\cdot [y]\cdot at(x,z)\cdot [z]:T^{r}\cdot E^{rr}\cdot E^{r}\cdot T\cdot E^{l}\end{aligned}}}

donde E es el tipo de entidades en el dominio y T es el tipo de valores de verdad.

Junto con esta definición central de la semántica de PG, también tenemos reglas de reducción que se emplean en paralelo con las reducciones de tipos. Colocando los tipos sintácticos en la parte superior y la semántica debajo, tenemos

Por ejemplo, aplicando esto a los tipos y la semántica de la oraciónJohn conocí María:norte⋅(norter⋅S⋅nortel)⋅norte{\displaystyle {\textit {John}}\ {\textit {met}}\ {\textit {Mary}}:N\cdot (N^{r}\cdot S\cdot N^{l})\cdot N}(haciendo hincapié en que el vínculo se está reduciendo)

Para la oraciónel perro ladró en el gato:(norte⋅norte0l)⋅norte0⋅(norter⋅S)⋅(Sr⋅norterr⋅norter⋅S⋅nortel)⋅(norte⋅norte0l)⋅norte0{\displaystyle {\textit {the}}\ {\textit {dog}}\ {\textit {barked}}\ {\textit {at}}\ {\textit {the}}\ {\textit {cat}}:(N\cdot N_{0}^{l})\cdot N_{0}\cdot (N^{r}\cdot S)\cdot (S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l})\cdot (N\cdot N_{0}^{l})\cdot N_{0}}:

Véase también

Referencias

  • Lambek, Joachim (2008). "Gramáticas de pregrupos y los primeros ejemplos de Chomsky" (PDF) . Journal of Logic, Language and Information . 17 (2): 141– 160. doi : 10.1007/s10849-007-9053-2 . S2CID 30256603 . 
  • Preller, Anna (2007). "Las gramáticas de pregrupos semánticos manejan dependencias de larga distancia en francés" (PDF) . Manuscrito .
  • Claudia Casadio (2004), Gramática de pregrupos. Teoría y aplicaciones.
  1. ↑ Selinger, Peter (2011). "Un estudio de lenguajes gráficos para categorías monoidales". Nuevas estructuras para la física . Notas de clase en física. Vol. 813. Springer. págs. 289–233 . arXiv : 0908.3347 . Bibcode : 2009arXiv0908.3347S .  
  2. ↑ Preller, Anne; Mehrnoosh Sadrzadeh (2011). "Modelos vectoriales semánticos y modelos funcionales para gramáticas de pregrupos" (PDF) . Journal of Logic, Language and Information . 20 (4): 419– 443. doi : 10.1007/s10849-011-9132-2 . S2CID 207175357 . 
  3. ↑ Lambek, Joachim (1999). «Revisión de la gramática de tipos». En Alain Lecomte (ed.). Aspectos lógicos de la lingüística computacional . LNAI. Vol. 1582. Heidelberg: Springer. pp. 1–27 .  
  4. ↑ Lambek, Joachim (2008). "Gramáticas de pregrupos y los primeros ejemplos de Chomsky" (PDF) . Journal of Logic, Language and Information . 17 (2): 141– 160. doi : 10.1007/s10849-007-9053-2 . S2CID 30256603 . 
  5. ↑ Lambek 2008
  6. ↑ Casadio, Claudia; Joachim Lambek (2001). «Análisis algebraico de los pronombres clíticos en italiano». Aspectos lógicos de la lingüística computacional . Springer. pp. 110–124 . ISBN  3540422730.
  7. ↑ Preller, Anne; Violaine Prince; et al. (2008). "Gramáticas de pregrupos con análisis lineal de la frase verbal francesa" (PDF) . CL2008 : 53–84 . 
  8. ↑ Sadrzadeh, Mehrnoosh (2008). "Análisis de pregrupos de oraciones persas". Enfoques algebraicos computacionales del lenguaje natural, Polimetrica, Milán, Italia : 121–144 . CiteSeerX 10.1.1.163.5505 . 
  9. ↑ Casadio, Claudia; Mehrnoosh Sadrzadeh (2014). «Alternancia del orden de las palabras en sánscrito mediante la preciclicidad en gramáticas de pregrupos». En Franck van Breugel; Elham Kashefi ; Catuscia Palamidessi ; Jan Rutten (eds.). Horizontes de la mente. Un homenaje a Prakash Panangaden . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 8464. Springer International Publishing. pp. 229–249 . ISBN   978-3-319-06879-4.