Preintuicionismo

En la filosofía de las matemáticas , el término preintuicionista es el que LEJ Brouwer dio a varios matemáticos influyentes que compartían opiniones similares sobre la naturaleza de las matemáticas. Brouwer introdujo el término en sus conferencias de 1951 en Cambridge , donde describió las diferencias entre su filosofía del intuicionismo y sus predecesores: ^{[ 1 ]}

De una orientación totalmente distinta [ a la "Escuela Formalista Antigua" de Dedekind , Cantor , Peano , Zermelo y Couturat , etc. ] fue la Escuela Preintuicionista, liderada principalmente por Poincaré , Borel y Lebesgue . Estos pensadores parecen haber mantenido un punto de vista observacional modificado para la introducción de los números naturales , para el principio de inducción completa [ ... ]. Para estos, incluso para teoremas deducidos mediante la lógica clásica, postularon una existencia y exactitud independientes del lenguaje y la lógica, y consideraron su no contradicción como cierta, incluso sin prueba lógica. Sin embargo, para el continuo, parece que no buscaron un origen estrictamente ajeno al lenguaje y la lógica.

Este sentido de la definición permitió a Poincaré debatir con Bertrand Russell sobre la teoría axiomática de los números naturales de Giuseppe Peano .

El quinto axioma de Peano establece:

• Permitir eso; cero tiene una propiedad P ;
• Y; si todo número natural menor que un número x tiene la propiedad P, entonces x también tiene la propiedad P.
• Por lo tanto , todo número natural tiene la propiedad P.

Este es el principio de inducción completa , que establece la propiedad de inducción como necesaria para el sistema. Dado que el axioma de Peano es tan infinito como los números naturales , es difícil probar que la propiedad de P pertenece a cualquier x y también a x  +  1. Lo que se puede hacer es decir que, si después de un cierto número n de ensayos que muestran una propiedad P conservada en x y x  +  1, entonces podemos inferir que seguirá siendo cierta después de n  +  1 ensayos. Pero esto es en sí mismo una inducción. Y por lo tanto, el argumento cae en una petición de principio .

A partir de esto, Poincaré argumenta que si no logramos establecer la consistencia de los axiomas de Peano para los números naturales sin caer en la circularidad, entonces el principio de inducción completa no es demostrable mediante la lógica general .

Así pues, la aritmética y las matemáticas en general no son analíticas , sino sintéticas . El logicismo queda así refutado y la intuición se ve ensalzada. Lo que Poincaré y los preintuicionistas compartían era la percepción de una diferencia entre lógica y matemáticas que no reside únicamente en el lenguaje , sino en el conocimiento mismo.

Fue por esta afirmación, entre otras, que se consideró que Poincaré era similar a los intuicionistas. Sin embargo, para Brouwer , los preintuicionistas no llegaron tan lejos como era necesario al desvincular las matemáticas de la metafísica, ya que todavía utilizaban el principium tertii exclusi (el " principium tertii exclusi ").

El principio del tercero excluido da lugar a situaciones extrañas. Por ejemplo, afirmaciones sobre el futuro como «Mañana habrá una batalla naval» no parecen ser ni verdaderas ni falsas, todavía . Por lo tanto, surge la duda de si las afirmaciones deben ser necesariamente verdaderas o falsas en ciertas situaciones . Para un intuicionista, esto sitúa la ley del tercero excluido en un nivel de rigor tan bajo como el círculo vicioso de Peano .

Sin embargo, para los preintuicionistas esto es mezclar peras con manzanas. Para ellos, las matemáticas eran una cosa (una invención confusa de la mente humana, es decir , sintética), y la lógica era otra (analítica).

Los ejemplos anteriores solo incluyen las obras de Poincaré , pero Brouwer también nombró a otros matemáticos como preintuicionistas: Borel y Lebesgue . Otros matemáticos como Hermann Weyl (quien finalmente se desencantó con el intuicionismo, al considerar que imponía restricciones excesivas al progreso matemático) y Leopold Kronecker también desempeñaron un papel importante, aunque Brouwer no los cita en su discurso definitivo.

De hecho, Kronecker podría ser el más famoso de los preintuicionistas por su singular y a menudo citada frase: "Dios creó los números naturales; todo lo demás es obra del hombre".

Kronecker se desmarca casi por completo de Poincaré, creyendo en los números naturales pero no en el principio del tercero excluido. Fue el primer matemático en expresar dudas sobre las pruebas de existencia no constructivas que afirman que algo debe existir porque se puede demostrar que es "imposible" que no exista.

• Convencionalismo

• Divagaciones lógicas : un breve artículo de Jan Sraathof sobre los diversos ataques de Brouwer a los argumentos de los preintuicionistas sobre el principio del tercero excluido.
• Prueba e intuición : un artículo sobre las diversas formas de conocimiento en relación con el intuicionista y el lógico.
• Las conferencias de Brouwer en Cambridge sobre el intuicionismo , en las que Brouwer habla de la escuela preintuicionista y aborda lo que él considera sus numerosas deficiencias.