Categoría premonoide

En teoría de categorías , una categoría premonoidal ^{[ 1 ]} es una generalización de una categoría monoidal donde el producto monoidal no necesita ser un bifunctor , sino solo ser funtorial en sus dos argumentos por separado. Esto es análogo al concepto de continuidad separada en topología .

Las categorías premonoidales surgen naturalmente en la informática teórica como las categorías de Kleisli de mónadas fuertes . ^{[ 2 ]} También tienen un lenguaje gráfico dado por diagramas de cadenas con un cable adicional que atraviesa cada caja para que no se puedan reordenar. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

La categoría de categorías pequeñas${\displaystyle \mathbf {Gato} }$es una categoría monoidal cerrada de exactamente dos maneras: con el producto categórico usual y con el producto tensorial divertido . ^{[ 6 ]} Dadas dos categorías${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$, dejar${\displaystyle C\Rightarrow D}$ser la categoría con functores${\displaystyle F,G:C\to D}$como objetos y transformaciones antinaturales${\displaystyle \alpha :F\Rightarrow G}$como flechas, es decir familias de morfismos${\displaystyle \{\alpha _{X}:F(X)\to G(X)\}_{X\in C}}$que no necesariamente satisfacen la condición para una transformación natural .

El producto tensorial divertido es el adjunto izquierdo de transformaciones no naturales, es decir, existe un isomorfismo natural.${\displaystyle \mathbf {Cat} (C\ \Box \ D,D')\simeq \mathbf {Cat} (C,D\Rightarrow D')}$para currificar . Se puede definir explícitamente como el empuje del span.${\displaystyle (C_{0}\times D)\to (C\times D)\leftarrow (C\times D_{0})}$dónde${\displaystyle C_{0},D_{0}}$son las categorías discretas de objetos de${\displaystyle C,D}$y los dos functores son inclusiones. En el caso de grupos vistos como categorías de un solo objeto, esto se llama producto libre .

De la misma manera podemos definir una categoría monoidal como una 2-categoría de un objeto , es decir, una categoría enriquecida sobre${\displaystyle (\mathbf {Gato} ,\times )}$con el producto cartesiano como estructura monoidal, podemos definir una categoría premonoidal como una sesquicategoría de un objeto , ^{[ 7 ]} es decir, una categoría enriquecida sobre${\displaystyle (\mathbf {Gato} ,\Caja )}$con el divertido producto tensorial como estructura monoide. Esto se llama sesquicategoría (literalmente, "categoría y media") porque es como una 2-categoría sin la ley de intercambio.${\displaystyle (\alpha \circ _{0}\beta )\circ _{1}(\gamma \circ _{0}\delta )=(\alpha \circ _{1}\gamma )\circ _{0}(\beta \circ _{1}\delta )}$.

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