Código de Preparata

En teoría de la codificación , los códigos Preparata forman una clase de códigos no lineales de doble corrección de errores . Reciben su nombre de Franco P. Preparata, quien los describió por primera vez en 1968.

Aunque no lineales sobre GF(2), los códigos Preparata son lineales sobre Z ₄ con la distancia de Lee .

Sea m un número impar, y${\displaystyle n=2^{m}-1}$. Primero describimos el código Preparata extendido de longitud${\displaystyle 2n+2=2^{m+1}}$El código Preparata se obtiene eliminando una posición. Las palabras del código extendido se consideran pares ( X , Y ) de 2 ^m -tuplas, cada una correspondiente a subconjuntos del cuerpo finito GF(2 ^m ) de alguna manera fija. 

El código extendido contiene las palabras ( X , Y ) que satisfacen tres condiciones. 

1. X e Y tienen cada una el mismo peso;
2. ${\displaystyle \sum _{x\in X}x=\sum _{y\in Y}y;}$
3. ${\displaystyle \sum _{x\in X}x^{3}+\left(\sum _{x\in X}x\right)^{3}=\sum _{y\in Y}y^{3}.}$

El código Preparata se obtiene eliminando la posición en X correspondiente a 0 en GF(2 ^m ).

El código Preparata tiene una longitud de 2 ^{m +1} − 1, un tamaño de 2 ^k donde k = 2 ^{m + 1} − 2 m − 2, y una distancia mínima de 5.        

Cuando m = 3, el código Preparata de longitud 15 también se denomina código Nordstrom-Robinson .

• FP Preparata (1968). "Una clase de códigos de corrección de doble error no lineales óptimos" . Information and Control . 13 (4): 378– 400. doi : 10.1016/S0019-9958(68)90874-7 . hdl : 2142/74662 .
• JH van Lint (1992). Introducción a la teoría de la codificación . GTM . Vol.  86 (2.ª  ed.). Springer-Verlag. pp. 111–113 . ISBN  3-540-54894-7.
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Preparata_code
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes