Presentación de un grupo

En matemáticas , una presentación es un método para especificar un grupo . Una presentación de un grupo G comprende un conjunto S de generadores —de modo que cada elemento del grupo puede escribirse como un producto de potencias de algunos de estos generadores— y un conjunto R de relaciones entre esos generadores. Decimos entonces que G tiene presentación.

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$

De manera informal, G tiene la presentación anterior si es el "grupo más libre" generado por S sujeto únicamente a las relaciones R. Formalmente, se dice que el grupo G tiene la presentación anterior si es isomorfo al cociente de un grupo libre en S por el subgrupo normal generado por las relaciones R.

Como ejemplo sencillo, el grupo cíclico de orden n tiene la presentación

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}=1\rangle,}$

donde 1 es la identidad del grupo. Esto puede escribirse de forma equivalente como

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle,}$

Gracias a la convención de que los términos que no incluyen un signo de igualdad se consideran iguales a la identidad del grupo. Dichos términos se denominan relatores , lo que los distingue de las relaciones que sí incluyen un signo de igualdad.

Cada grupo tiene una presentación, y de hecho muchas presentaciones diferentes; una presentación suele ser la forma más concisa de describir la estructura del grupo.

Un concepto estrechamente relacionado pero diferente es el de presentación absoluta de un grupo .

Un grupo libre sobre un conjunto S es un grupo donde cada elemento puede describirse de forma única como un producto de longitud finita de la forma:

${\displaystyle s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}}$

donde los s _i son elementos de S , los s _i adyacentes son distintos y los a _i son enteros distintos de cero (pero n puede ser cero). En términos menos formales, el grupo consta de palabras en los generadores y sus inversos , sujetos únicamente a la cancelación de un generador con una ocurrencia adyacente de su inverso.

Si G es cualquier grupo y S es un subconjunto generador de G , entonces cada elemento de G también tiene la forma anterior; pero en general, estos productos no describirán de forma única un elemento de G.

Por ejemplo, el grupo diedral D ₈ de orden dieciséis puede generarse mediante una rotación r de orden 8 y un giro f de orden 2, y ciertamente cualquier elemento de D ₈ es un producto de r s y f s.

Sin embargo, tenemos, por ejemplo, rfr = f ⁻¹ , r ⁷ = r ⁻¹ , etc., por lo que tales productos no son únicos en D ₈ . Cada equivalencia de producto de este tipo puede expresarse como una igualdad a la identidad, como por ejemplo

rfrf = 1 ,

r ⁸ = 1 , o

f ^{‍ 2} = 1 .

De manera informal, podemos considerar estos productos del lado izquierdo como elementos del grupo libre F = ⟨ r , f  ⟩ , y sea R = ⟨ rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2} ⟩ . Es decir, sea R el subgrupo generado por las cadenas rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2} , cada una de las cuales también es equivalente a 1 cuando se consideran como productos en D ₈ .

Si entonces definimos N como el subgrupo de F generado por todos los conjugados x ⁻¹ Rx de R , entonces por definición se deduce que cada elemento de N es un producto finito x ₁ ⁻¹ r ₁ x ₁ ... x _m ⁻¹ r _m x _m de miembros de dichos conjugados. De ello se deduce que cada elemento de N , cuando se considera como un producto en D ₈ , también se evaluará a 1; y por lo tanto que N es un subgrupo normal de F . Así pues, D ₈ es isomorfo al grupo cociente F / N . Decimos entonces que D ₈ tiene presentación

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle.}$

Aquí el conjunto de generadores es S = { r , f  } , y el conjunto de relaciones es R = { r ⁸ = 1, f ² = 1, ( rf ) ² = 1} . A menudo vemos R abreviado, dando la presentación

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle.}$

Una forma aún más corta omite los signos de igualdad e identidad, para enumerar solo el conjunto de relatores, que es { r ⁸ , f ² , ( rf ) ² } . Al hacer esto se obtiene la presentación

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle.}$

Las tres presentaciones son equivalentes.

Aunque la notación ⟨ S | R ⟩ utilizada en este artículo para una presentación es ahora la más común, autores anteriores emplearon diferentes variaciones del mismo formato. Dichas notaciones incluyen las siguientes:

• ⟨ S | R ⟩
• ( S | R )
• { S ; R }
• ⟨ S ; R ⟩

Sea S un conjunto y sea F _S el grupo libre en S . Sea R un conjunto de palabras en S , de modo que R da naturalmente un subconjunto de${\displaystyle F_{S}}$Para formar un grupo con presentación${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$, toma el cociente de${\displaystyle F_{S}}$por el subgrupo normal más pequeño que contiene cada elemento de R. (Este subgrupo se llama clausura normal N de R en${\displaystyle F_{S}}$.) El grupo${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$entonces se define como el grupo cociente

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.}$

Los elementos de S se llaman generadores de${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$y los elementos de R se denominan relatores . Se dice que un grupo G tiene la presentación${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$si G es isomorfo a${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$. ^{[ 1 ]}

Es práctica común escribir relatores en la forma${\displaystyle x=y}$donde x e y son palabras en S. Esto significa que${\displaystyle y^{-1}x\in R}$. Esto tiene el significado intuitivo de que las imágenes de x e y se supone que son iguales en el grupo cociente. Por lo tanto, por ejemplo, r ⁿ en la lista de relatores es equivalente a${\displaystyle r^{n}=1}$. ^{[ 1 ]}

Para un grupo finito G , es posible construir una presentación de G a partir de la tabla de multiplicación de grupos , como sigue. Tomemos S como el conjunto de elementos.${\displaystyle g_{i}}$de G y R para ser todas palabras de la forma${\displaystyle g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}}$, dónde${\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{k}}$es una entrada en la tabla de multiplicar.

Se dice que una presentación es finitamente generada si S es finito y finitamente relacionada si R es finito. Si ambos son finitos, se dice que es una presentación finita . Un grupo es finitamente generado (respectivamente finitamente relacionado ,Un grupo que tiene una presentación finitamente generada (o finitamente relacionada, una presentación finita) se denomina grupo con una sola relación.

Si S está indexado por un conjunto I que consta de todos los números naturales N o un subconjunto finito de ellos, entonces es fácil establecer una codificación simple biyectiva (o numeración de Gödel ) f  : F _S → N del grupo libre en S a los números naturales, de modo que podamos encontrar algoritmos que, dado f ( w ), calculen w , y viceversa. Podemos entonces llamar a un subconjunto U de F _S recursivo (respectivamente recursivamente enumerable ) si f ( U ) es recursivo (respectivamente recursivamente enumerable). Si S está indexado como se indicó anteriormente y R es recursivamente enumerable, entonces la presentación es una presentación recursiva y el grupo correspondiente está presentado recursivamente . Este uso puede parecer extraño, pero es posible demostrar que si un grupo tiene una presentación con R recursivamente enumerable, entonces tiene otra con R recursivo.

Todo grupo finitamente presentado es recursivamente presentado, pero existen grupos recursivamente presentados que no pueden ser finitamente presentados. Sin embargo, un teorema de Graham Higman establece que un grupo finitamente generado tiene una presentación recursiva si y solo si puede ser incrustado en un grupo finitamente presentado. ^{[ 2 ]} De esto podemos deducir que existen (salvo isomorfismo) solo una cantidad numerable de grupos finitamente generados recursivamente presentados. Bernhard Neumann ha demostrado que existen una cantidad no numerable de grupos no isomorfos de dos generadores. Por lo tanto, existen grupos finitamente generados que no pueden ser recursivamente presentados.

Una de las primeras presentaciones de un grupo mediante generadores y relaciones fue dada por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosiano , una presentación del grupo icosaédrico . ^{[ 3 ]} El primer estudio sistemático fue dado por Walther von Dyck , alumno de Felix Klein , a principios de la década de 1880, sentando las bases de la teoría combinatoria de grupos . ^{[ 4 ]}

La siguiente tabla muestra algunos ejemplos de presentaciones para grupos de estudio comunes. Cabe destacar que en cada caso existen muchas otras presentaciones posibles. La presentación que se muestra no es necesariamente la más eficiente.

Un ejemplo de un grupo finitamente generado que no está finitamente presentado es el producto de la corona.${\displaystyle \mathbf {Z} \wr \mathbf {Z} }$del grupo de enteros consigo mismo.

Teorema. Cada grupo tiene una presentación.

Para ver esto, dado un grupo G , consideremos el grupo libre F _G sobre G. Por la propiedad universal de los grupos libres, existe un homomorfismo de grupos único φ  : F _G → G cuya restricción a G es la aplicación identidad. Sea K el núcleo de este homomorfismo. Entonces K es normal en F _G , por lo tanto es igual a su clausura normal, de modo que ⟨ G | K ⟩ = F _G / K . Como la aplicación identidad es sobreyectiva, φ también lo es, por lo que por el Primer Teorema de Isomorfismo , ⟨ G | K ⟩ ≅ im( φ ) = G . Esta presentación puede ser muy ineficiente si tanto G como K son mucho mayores de lo necesario.

Corolario. Todo grupo finito tiene una presentación finita.

Se pueden tomar los elementos del grupo como generadores y la tabla de Cayley para las relaciones.

Supongamos que G tiene presentación ⟨ S | R ⟩ y H tiene presentación ⟨ T | Q ⟩, siendo S y T disjuntos. Entonces

• El producto libre G ∗ H tiene presentación ⟨ S , T | R , Q ⟩ ;
• El producto directo G × H tiene la presentación ⟨ S , T | R , Q , [ S , T ]⟩ , donde [ S , T ] significa que cada elemento de S conmuta con cada elemento de T (cf. conmutador ); y
• El producto semidirecto G ⋊ _φ H tiene la presentación ⟨ S , T | R , Q , { t s t ⁻¹ φ _t ( s ) ⁻¹ | s en S , t en T }⟩ . ^{[ 7 ]}

La deficiencia de una presentación finita ⟨ S | R ⟩ es simplemente | S | − | R | y la deficiencia de un grupo finitamente presentado G , denotada def( G ), es el máximo de la deficiencia sobre todas las presentaciones de G . La deficiencia de un grupo finito es no positiva. El multiplicador de Schur de un grupo finito G puede generarse mediante generadores −def( G ), y G es eficiente si se requiere este número. ^{[ 8 ]}

La representación de un grupo determina una geometría, en el sentido de la teoría geométrica de grupos : se tiene el grafo de Cayley , que posee una métrica , denominada métrica de palabras . También se obtienen dos órdenes resultantes, el orden débil y el orden de Bruhat , y sus correspondientes diagramas de Hasse . Un ejemplo importante se encuentra en los grupos de Coxeter .

Además, algunas propiedades de este gráfico (la geometría gruesa ) son intrínsecas, es decir, independientes de la elección de los generadores.

• Transformación de Nielsen
• Presentación de un módulo
• Presentación de un monoide
• Notación de construcción de conjuntos
• Transformación de Tietze

• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.― Esta útil referencia contiene tablas de presentaciones de todos los grupos finitos pequeños, los grupos de reflexión, etc.
• Johnson, DL (1997). Presentaciones de grupos (2.ª  ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58542-2.— Método de Schreier, método de Nielsen, presentaciones libres, subgrupos y extensiones HNN, teorema de Golod-Shafarevich , etc.
• Sims, Charles C. (1994). Computación con grupos finitamente presentados (1.ª  ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13507-8.— algoritmos fundamentales de la informática teórica, la teoría computacional de números y el álgebra conmutativa computacional, etc.

• de Cornulier, Yves . «Presentación Grupal» . MundoMatemático .
• Grupos pequeños y sus presentaciones en GroupNames