Presentación de un grupo

En matemáticas , una presentación es un método para especificar un grupo . Una presentación de un grupo G comprende un conjunto S de generadores —de modo que cada elemento del grupo puede escribirse como un producto de potencias de algunos de estos generadores— y un conjunto R de relaciones entre esos generadores. Decimos entonces que G tiene presentación.

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$

De manera informal, G tiene la presentación anterior si es el "grupo más libre" generado por S sujeto únicamente a las relaciones R. Formalmente, se dice que el grupo G tiene la presentación anterior si es isomorfo al cociente de un grupo libre en S por el subgrupo normal generado por las relaciones R.

Como ejemplo sencillo, el grupo cíclico de orden n tiene la presentación

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}=1\rangle ,}$

donde 1 es la identidad del grupo. Esto puede escribirse de forma equivalente como

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle ,}$

Gracias a la convención de que los términos que no incluyen un signo de igualdad se consideran iguales a la identidad del grupo. Dichos términos se denominan relatores , lo que los distingue de las relaciones que sí incluyen un signo de igualdad.

Cada grupo tiene una presentación, y de hecho muchas presentaciones diferentes; una presentación suele ser la forma más concisa de describir la estructura del grupo.

Un concepto estrechamente relacionado pero diferente es el de presentación absoluta de un grupo .

Un grupo libre sobre un conjunto S es un grupo donde cada elemento puede describirse de forma única como un producto de longitud finita de la forma:

${\displaystyle s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}}$

donde los s _i son elementos de S , los s _i adyacentes son distintos y los a _i son enteros distintos de cero (pero n puede ser cero). En términos menos formales, el grupo consta de palabras en los generadores y sus inversos , sujetos únicamente a la cancelación de un generador con una ocurrencia adyacente de su inverso.

Si G es cualquier grupo y S es un subconjunto generador de G , entonces cada elemento de G también tiene la forma anterior; pero en general, estos productos no describirán de forma única un elemento de G.

For example, the dihedral group D₈ of order sixteen can be generated by a rotation r of order 8 and a flip f of order 2, and certainly any element of D₈ is a product of rs and fs.

However, we have, for example, rfr = f⁻¹, r⁷ = r⁻¹, etc., so such products are not unique in D₈. Each such product equivalence can be expressed as an equality to the identity, such as

rfrf = 1,

r⁸ = 1, or

f‍² = 1.

Informally, we can consider these products on the left hand side as being elements of the free group F = ⟨r, f ⟩, and let R = ⟨rfrf, r⁸, f‍²⟩. That is, we let R be the subgroup generated by the strings rfrf, r⁸, f‍², each of which is also equivalent to 1 when considered as products in D₈.

If we then let N be the subgroup of F generated by all conjugates x⁻¹Rx of R, then it follows by definition that every element of N is a finite product x₁⁻¹r₁x₁ ... x_m⁻¹r_mx_m of members of such conjugates. It follows that each element of N, when considered as a product in D₈, will also evaluate to 1; and thus that N is a normal subgroup of F. Thus D₈ is isomorphic to the quotient groupF/N. We then say that D₈ has presentation

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle .}$

Here the set of generators is S = {r, f }, and the set of relations is R = {r⁸ = 1, f² = 1, (rf )² = 1}. We often see R abbreviated, giving the presentation

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle .}$

An even shorter form drops the equality and identity signs, to list just the set of relators, which is {r⁸, f², (rf )²}. Doing this gives the presentation

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle .}$

All three presentations are equivalent.

Although the notation ⟨S|R⟩ used in this article for a presentation is now the most common, earlier writers used different variations on the same format. Such notations include the following:

• ⟨S|R⟩
• (S | R)
• {S; R}
• ⟨S; R⟩

Let S be a set and let F_S be the free group on S. Let R be a set of words on S, so R naturally gives a subset of ${\displaystyle F_{S}}$. To form a group with presentation ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$, take the quotient of ${\displaystyle F_{S}}$ by the smallest normal subgroup that contains each element of R. (This subgroup is called the normal closureN of R in ${\displaystyle F_{S}}$.) The group ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ is then defined as the quotient group

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.}$

The elements of S are called the generators of ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ and the elements of R are called the relators. A group G is said to have the presentation ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ if G is isomorphic to ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$.^[1]

It is a common practice to write relators in the form ${\displaystyle x=y}$ where x and y are words on S. What this means is that ${\displaystyle y^{-1}x\in R}$. This has the intuitive meaning that the images of x and y are supposed to be equal in the quotient group. Thus, for example, rⁿ in the list of relators is equivalent with ${\displaystyle r^{n}=1}$.^[1]

For a finite group G, it is possible to build a presentation of G from the group multiplication table, as follows. Take S to be the set elements ${\displaystyle g_{i}}$ of G and R to be all words of the form ${\displaystyle g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}}$, where ${\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{k}}$ is an entry in the multiplication table.

Se dice que una presentación es finitamente generada si S es finito y finitamente relacionada si R es finito. Si ambos son finitos, se dice que es una presentación finita . Un grupo es finitamente generado (respectivamente finitamente relacionado ,Un grupo que tiene una presentación finitamente generada (o finitamente relacionada, una presentación finita) se denomina grupo con una sola relación.

Si S está indexado por un conjunto I que consta de todos los números naturales N o un subconjunto finito de ellos, entonces es fácil establecer una codificación simple biyectiva (o numeración de Gödel ) f  : F _S → N del grupo libre en S a los números naturales, de modo que podamos encontrar algoritmos que, dado f ( w ), calculen w , y viceversa. Podemos entonces llamar a un subconjunto U de F _S recursivo (respectivamente recursivamente enumerable ) si f ( U ) es recursivo (respectivamente recursivamente enumerable). Si S está indexado como se indicó anteriormente y R es recursivamente enumerable, entonces la presentación es una presentación recursiva y el grupo correspondiente está presentado recursivamente . Este uso puede parecer extraño, pero es posible demostrar que si un grupo tiene una presentación con R recursivamente enumerable, entonces tiene otra con R recursivo.

Every finitely presented group is recursively presented, but there are recursively presented groups that cannot be finitely presented. However a theorem of Graham Higman states that a finitely generated group has a recursive presentation if and only if it can be embedded in a finitely presented group.^[2] From this we can deduce that there are (up to isomorphism) only countably many finitely generated recursively presented groups. Bernhard Neumann has shown that there are uncountably many non-isomorphic two generator groups. Therefore, there are finitely generated groups that cannot be recursively presented.

One of the earliest presentations of a group by generators and relations was given by the Irish mathematician William Rowan Hamilton in 1856, in his icosian calculus – a presentation of the icosahedral group.^[3] The first systematic study was given by Walther von Dyck, student of Felix Klein, in the early 1880s, laying the foundations for combinatorial group theory.^[4]

The following table lists some examples of presentations for commonly studied groups. Note that in each case there are many other presentations that are possible. The presentation listed is not necessarily the most efficient one possible.

Un ejemplo de un grupo finitamente generado que no está finitamente presentado es el producto de la corona.${\displaystyle \mathbf {Z} \wr \mathbf {Z} }$del grupo de enteros consigo mismo.

Teorema. Cada grupo tiene una presentación.

Para ver esto, dado un grupo G , consideremos el grupo libre F _G sobre G. Por la propiedad universal de los grupos libres, existe un homomorfismo de grupos único φ  : F _G → G cuya restricción a G es la aplicación identidad. Sea K el núcleo de este homomorfismo. Entonces K es normal en F _G , por lo tanto es igual a su clausura normal, de modo que ⟨ G | K ⟩ = F _G / K . Como la aplicación identidad es sobreyectiva, φ también lo es, por lo que por el Primer Teorema de Isomorfismo , ⟨ G | K ⟩ ≅ im( φ ) = G . Esta presentación puede ser muy ineficiente si tanto G como K son mucho mayores de lo necesario.

Corolario. Todo grupo finito tiene una presentación finita.

Se pueden tomar los elementos del grupo como generadores y la tabla de Cayley para las relaciones.

Supongamos que G tiene presentación ⟨ S | R ⟩ y H tiene presentación ⟨ T | Q ⟩, siendo S y T disjuntos. Entonces

• El producto libre G ∗ H tiene presentación ⟨ S , T | R , Q ⟩ ;
• the direct productG × H has presentation ⟨S, T | R, Q, [S, T]⟩, where [S, T] means that every element from S commutes with every element from T (cf. commutator); and
• the semidirect productG ⋊_φH has presentation ⟨S, T | R, Q, {tst⁻¹φ_t(s)⁻¹ | s in S, t in T}⟩.^[7]

The deficiency of a finite presentation ⟨S | R⟩ is just |S| − |R| and the deficiency of a finitely presented group G, denoted def(G), is the maximum of the deficiency over all presentations of G. The deficiency of a finite group is non-positive. The Schur multiplicator of a finite group G can be generated by −def(G) generators, and G is efficient if this number is required.^[8]

A presentation of a group determines a geometry, in the sense of geometric group theory: one has the Cayley graph, which has a metric, called the word metric. These are also two resulting orders, the weak order and the Bruhat order, and corresponding Hasse diagrams. An important example is in the Coxeter groups.

Further, some properties of this graph (the coarse geometry) are intrinsic, meaning independent of choice of generators.

• Nielsen transformation
• Presentation of a module
• Presentation of a monoid
• Set-builder notation
• Tietze transformation

• Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. ― This useful reference has tables of presentations of all small finite groups, the reflection groups, and so forth.
• Johnson, D. L. (1997). Presentations of Groups (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58542-2. ― Schreier's method, Nielsen's method, free presentations, subgroups and HNN extensions, Golod–Shafarevich theorem, etc.
• Sims, Charles C. (1994). Computation with Finitely Presented Groups (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13507-8. ― fundamental algorithms from theoretical computer science, computational number theory, and computational commutative algebra, etc.

• de Cornulier, Yves. "Group Presentation". MathWorld.
• Small groups and their presentations on GroupNames