Forma presimpléctica

En física matemática , especialmente en mecánica geométrica , una forma presimpléctica es una estructura geométrica en variedades diferenciables . Es una generalización de la forma simpléctica .

Dada una variedad diferenciable, una forma simpléctica sobre ella es una 2-forma diferencial cerrada y no degenerada . Una forma presimpléctica relaja el requisito de no degeneración. En cambio, solo se requiere que sea cerrada y tenga rango constante en todos los puntos de la variedad. ^{[ 1 ]} Nótese que una forma simpléctica, en virtud de la no degeneración, necesariamente tiene un rango igual a la dimensión de la variedad subyacente, por lo que tiene rango constante. ^{[ 2 ]}

La definición no está estandarizada. Recientemente, Hajduk y Walczak definieron una forma presimpléctica como una 2-forma diferencial cerrada, de rango máximo en una variedad de dimensión impar . ^{[ 3 ]} Esto puede estar motivado de la siguiente manera: Una forma simpléctica existe necesariamente sobre una variedad de dimensión par, por lo que una variedad de dimensión impar no puede tener una forma simpléctica. Sin embargo, al menos puede intentar alcanzar un rango lo más alto posible, ya que una forma simpléctica, en virtud de la no degeneración, necesariamente tiene un rango igual a la dimensión de la variedad subyacente, que es el rango máximo posible en la variedad.

Las formas presimplécticas se han utilizado para estudiar sistemas físicos donde no existe una geometría simpléctica obvia subyacente. Algunos ejemplos incluyen sistemas dinámicos con lagrangianos singulares , sistemas hamiltonianos con restricciones y teoría de control . ^{[ 4 ]}