Pedido previo de pozo

En teoría de conjuntos , un pre-bucle de ordenación en un conjunto${\displaystyle X}$es un pedido anticipado${\displaystyle \leq }$en${\displaystyle X}$(una relación transitiva y reflexiva en${\displaystyle X}$) que está fuertemente conectado (lo que significa que cualesquiera dos puntos son comparables) y bien fundado en el sentido de que la relación inducida${\displaystyle x<y}$definido por${\displaystyle x\leq y{\text{ y }}y\nleq x}$es una relación bien fundada .

Un preordenamiento en un conjunto${\displaystyle X}$es una relación binaria homogénea${\displaystyle \,\leq \,}$en${\displaystyle X}$que satisface las siguientes condiciones: ^{[ 1 ]}

1. Reflexividad :${\displaystyle x\leq x}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$
2. Transitividad : si${\displaystyle x<y}$y${\displaystyle y<z}$entonces${\displaystyle x<z}$a pesar de${\displaystyle x,y,z\in X.}$
3. Total/Fuertemente conectados :${\displaystyle x\leq y}$o${\displaystyle y\leq x}$a pesar de${\displaystyle x,y\in X.}$
4. para cada subconjunto no vacío${\displaystyle S\subseteq X,}$existe algo${\displaystyle m\in S}$de tal manera que${\displaystyle m\leq s}$a pesar de${\displaystyle s\in S.}$
   • Esta condición es equivalente al preorden estricto inducido.${\displaystyle x<y}$definido por${\displaystyle x\leq y}$y${\displaystyle y\nleq x}$ser una relación bien fundada .

Una relación binaria homogénea${\displaystyle \,\leq \,}$en${\displaystyle X}$es un pre-buen orden si y solo si existe una sobreyección${\displaystyle \pi :X\to Y}$en un conjunto bien ordenado${\displaystyle (Y,\lesssim )}$de tal manera que para todos${\displaystyle x,y\in X,}$${\textstyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle \pi (x)\lesssim \pi (y).}$^{[ 1 ]}

Ejemplos

Dado un conjunto${\displaystyle A,}$la relación binaria en el conjunto${\displaystyle X:=\operatorname {Finito} (A)}$de todos los subconjuntos finitos de${\displaystyle A}$definido por${\displaystyle S\leq T}$si y solo si${\displaystyle |S|\leq |T|}$(dónde${\displaystyle |\cdot |}$denota la cardinalidad del conjunto ) es un preordenamiento. ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$es una clase puntual de subconjuntos de alguna colección${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de espacios polacos ,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$cerrado bajo producto cartesiano , y si${\displaystyle \leq }$es un preordenamiento de algún subconjunto${\displaystyle P}$de algún elemento${\displaystyle X}$de${\displaystyle {\mathcal {F}},}$entonces${\displaystyle \leq }$Se dice que es un${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$- ordenamiento previo del pozo de${\displaystyle P}$si las relaciones${\displaystyle <^{*}}$y${\displaystyle \leq ^{*}}$son elementos de${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$dónde para${\displaystyle x,y\in X,}$

1. ${\displaystyle x<^{*}y{\text{ si y solo si }}x\in P\land (y\notin P\lor (x\leq y\land y\not \leq x))}$
2. ${\displaystyle x\leq ^{*}y{\text{ si y solo si }}x\in P\land (y\notin P\lor x\leq y)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$Se dice que tiene la propiedad de pre-buen orden si cada conjunto en${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$admite un${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$-preordenamiento de pozos.

La propiedad de preordenamiento está relacionada con la propiedad de escala más fuerte ; en la práctica, muchas clases de puntos que tienen la propiedad de preordenamiento también tienen la propiedad de escala, lo que permite sacar conclusiones más sólidas.

• Teoría descriptiva de conjuntos : subcampo de la lógica matemática. 
• Conjunto parcialmente ordenado graduado : conjunto parcialmente ordenado equipado con una función de rango . Un conjunto parcialmente ordenado graduado es análogo a un preordenamiento con una norma, reemplazando una función de asignación a los ordinales por una función de asignación a los números naturales. 
• Propiedad de escala