El precio de la equidad

Los casos extremos descritos anteriormente ya nos dan un límite superior trivial: UPOP ≤ 10000/100 = 100. Pero podemos obtener un límite superior más ajustado.

Supongamos que tenemos una división eficiente de una propiedad entre 100 socios, con un bienestar utilitario U. Queremos convertirla en una división proporcional. Para ello, agrupamos a los socios según su valor actual:

• Los socios cuyo valor actual es de al menos 10 se denominan afortunados .
• Los otros socios son llamados desafortunados .

Hay dos casos:

• Si hay menos de 10 socios afortunados, simplemente descarte la división actual y realice una nueva división proporcional (por ejemplo, utilizando el protocolo del último disminuidor ). En una división proporcional, cada socio recibe un valor de al menos 1, por lo que el valor total es de al menos 100. El valor de la división original es menor que (10*100+90*10)=1900, por lo que el UPOP es como máximo 19.
• Si hay al menos 10 socios afortunados, entonces cree una división proporcional utilizando la siguiente variante del último protocolo de disminución:
  • Cada socio afortunado, a su vez, reduce su parte en un 0,1 y permite que los demás socios desafortunados la disminuyan. Este porcentaje lo recibe él o uno de los socios desafortunados.
  • Esto continúa hasta que cada uno de los (como máximo) 90 socios desafortunados tenga una parte. Ahora, cada uno de los (al menos) 10 socios afortunados tiene al menos 0,1 de su valor anterior, y cada uno de los socios desafortunados tiene al menos su valor anterior, por lo que el UPOP es como máximo 10.

En resumen: el UPOP siempre es inferior a 20, independientemente de las medidas de valor de los socios.

El UPOP puede ser tan bajo como 1. Por ejemplo, si todos los socios tienen la misma medida de valor, entonces en cualquier división, independientemente de la equidad, el bienestar utilitario es 100. Por lo tanto, UPOP = 100/100 = 1.

Sin embargo, nos interesa el peor escenario posible de UPOP, es decir, una combinación de medidas de valor en la que el UPOP sea elevado. He aquí un ejemplo.

Supongamos que hay dos tipos de socios:

• 90 socios uniformes que valoran todo el terreno de forma uniforme (es decir, el valor de una parcela es proporcional a su tamaño).
• Diez socios estratégicos , cada uno de los cuales valora únicamente un distrito que abarca el 0,1% del territorio.

Consideremos las dos particiones siguientes:

• División equitativa : Dividir la tierra de manera uniforme, asignando a cada socio 0,01, donde los socios con intereses definidos reciben su 0,01 en el distrito que les corresponde. Esta división es justa. El valor de cada socio con intereses definidos es 1, mientras que el de cada socio con intereses definidos es 10, por lo que el bienestar utilitario es 190.
• División eficiente : Dividir todo el territorio entre los socios interesados, asignando a cada uno el distrito deseado. El bienestar utilitario es 100*10=1000.

En este ejemplo, el UPOP es 1000/190=5,26. Por lo tanto, 5,26 es un límite inferior del UPOP en el peor de los casos (donde el "peor caso" se toma sobre todas las combinaciones posibles de medidas de valor).

Combinando todos los resultados, obtenemos que el UPOP en el peor de los casos está acotado entre 5 y 20.

Este ejemplo es típico de los argumentos utilizados para acotar la POF. Para demostrar una cota inferior, basta con describir un único ejemplo; para demostrar una cota superior, se debe presentar un algoritmo u otro argumento sofisticado.

El ejemplo numérico descrito anteriormente se puede generalizar de 100 a n socios, lo que da como resultado los siguientes límites para el UPOP en el peor de los casos:

√ n /2 ≤ UPOP ≤ 2√ n -1

UPOP = Θ(√ n )

Para dos socios, un cálculo más detallado da un límite de: 8-4*√3 ≅ 1,07. ^{[ 1 ]}

Cuando se divide el pastel entero, una división sin envidia siempre es proporcional. Por lo tanto, el límite inferior del UPOP en el peor de los casos (√ n /2) también se aplica aquí. Por otro lado, como límite superior solo tenemos un límite débil de n -1/2. ^{[ 1 ]} Por lo tanto:

√ n /2 ≤ UPOV ≤ n -1/2

Ω(√ norte ) ≤ UPOV ≤ O( norte )

Para dos socios, un cálculo más detallado da un límite de: 8-4*√3 ≅ 1,07. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {(n+1)^{2} \over 4n}\leq UPOQ\leq n}$

${\displaystyle UPOQ=\Theta (n)}$

Para dos socios, un cálculo más detallado da un límite de: 9/8=1,125. ^{[ 1 ]}

Tenemos los siguientes resultados para el bienestar utilitarista: ^{[ 2 ]}

UPOP = Θ(√ n )

UPOV = Θ(√ n )

n -1+1/ n ≤ EPOQ ≤ n

EPOQ = Θ( n )

En una división proporcional , el valor de cada socio es al menos 1/ n del total. En particular, el valor del agente menos afortunado (que se denomina bienestar igualitario de la división) es al menos 1/ n . Esto significa que en una división igualitaria óptima, el bienestar igualitario es al menos 1/ n , y por lo tanto, una división igualitaria óptima es siempre proporcional. Por consiguiente, el precio igualitario de proporcionalidad (EPOP) es 1:

EPOP = 1

Consideraciones similares se aplican al precio igualitario de la equidad (EPOQ):

EPOQ = 1

El precio igualitario de la ausencia de envidia es mucho mayor: ^{[ 2 ]}

EPOV = n /2

Este es un resultado interesante, ya que implica que insistir en el criterio de ausencia de envidia aumenta las desigualdades sociales y perjudica a los ciudadanos más desfavorecidos. El criterio de proporcionalidad es mucho menos perjudicial.

En lugar de calcular la pérdida de bienestar debida a la equidad, podemos calcular la pérdida de equidad debida a la optimización del bienestar. Obtenemos los siguientes resultados: ^{[ 2 ]}

precio-proporcional-del-igualitarismo = 1

precio-de-la-envidia-del-igualitarismo = n -1

precio-proporcional-del-utilitarismo = infinito

precio-de-la-envidia-del-igualitarismo = infinito