Grupo cíclico primario

En matemáticas , un grupo cíclico primario es un grupo que es a la vez un grupo cíclico y un grupo p -primario para algún número primo p . Es decir, es un grupo cíclico de orden p ^m , C _{p ^m} , para algún número primo p y número natural m .

Todo grupo abeliano finito G puede escribirse como una suma directa finita de grupos cíclicos primarios, como se establece en el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos :

${\displaystyle G=\bigoplus _{1\leq i\leq n}\mathrm {C} _{{p_{i}}^{m_{i}}}.}$^{[ 1 ]}

Esta expresión es esencialmente única: existe una biyección entre los conjuntos de grupos en dos expresiones de este tipo, que asigna a cada grupo uno que es isomorfo.

Entre los grupos abelianos finitamente generados, los grupos cíclicos primarios se caracterizan por ser grupos de torsión que no pueden expresarse como suma directa de dos grupos no triviales. Por ello, junto con el grupo de los números enteros , constituyen los bloques de construcción de los grupos abelianos finitamente generados.

Los subgrupos de un grupo cíclico primario están ordenados linealmente por inclusión. Los únicos otros grupos que tienen esta propiedad son los grupos cuasicíclicos .