constante prima

Suponer${\displaystyle \rho }$eran racionales .

Denotemos el${\displaystyle k}$dígito n de la expansión binaria de${\displaystyle \rho }$por${\displaystyle r_{k}}$. Entonces, desde entonces${\displaystyle \rho }$Se supone que es racional, su expansión binaria es eventualmente periódica, y por lo tanto existen enteros positivos${\displaystyle N}$y${\displaystyle k}$de tal manera que ${\displaystyle r_{n}=r_{n+ik}}$a pesar de${\displaystyle n>N}$y todo${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$.

Dado que hay un número infinito de números primos, podemos elegir un primo.${\displaystyle p>N}$Por definición vemos que${\displaystyle r_{p}=1}$Como se ha señalado, tenemos${\displaystyle r_{p}=r_{p+ik}}$a pesar de${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$Ahora consideremos el caso${\displaystyle i=p}$. Tenemos${\displaystyle r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0}$, desde${\displaystyle p(k+1)}$es compuesto porque${\displaystyle k+1\geq 2}$. Desde${\displaystyle r_{p}\neq r_{p(k+1)}}$vemos que${\displaystyle \rho }$es irracional.