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Una brecha prima es la diferencia entre dos números primos sucesivos . norte {\displaystyle n} -ésimo intervalo primo, denotado gramo norte {\displaystyle g_{n}} o gramo ( pag n...

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Una brecha prima es la diferencia entre dos números primos sucesivos .norte{\displaystyle n}-ésimo intervalo primo, denotadogramonorte{\displaystyle g_{n}}ogramo(pagnorte){\displaystyle g(p_{n})}es la diferencia entre la(norte+1){\displaystyle (n+1)}y elnorte{\displaystyle n}números primos -ésimos, es decir,

gramonorte=pagnorte+1−pagnorte{\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}

Por ejemplo, dado que los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11..., tenemosgramo1=1{\displaystyle g_{1}=1},gramo2=gramo3=2{\displaystyle g_{2}=g_{3}=2},gramo4=4{\displaystyle g_{4}=4}La secuenciagramonorte{\displaystyle g_{n}}El estudio de las brechas de números primos ha sido ampliamente investigado; sin embargo, muchas preguntas y conjeturas siguen sin respuesta.

Los primeros 60 intervalos primos son:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (secuencia A001223 en el OEIS ) .

Por definición degramonorte{\displaystyle g_{n}}Cada número primo se puede escribir como

pagnorte+1=2+∑i=1nortegramoi.{\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.}

Observaciones simples

El primer, más pequeño y único intervalo primo impar es el intervalo de tamaño 1 entre 2, el único número primo par , y 3, el primer primo impar. Todos los demás intervalos primos son pares. Solo hay un par de intervalos consecutivos de longitud 2: los intervalosgramo2{\displaystyle g_{2}}ygramo3{\displaystyle g_{3}}entre los números primos 3, 5 y 7.

Para cualquier número enteronorte{\displaystyle n}, el factorialnorte¡{\displaystyle n!}es el producto de todos los enteros positivos hasta e incluyendonorte{\displaystyle n}. Luego en la secuencia

norte¡+2,norte¡+3,…,norte¡+norte,{\displaystyle n!+2,\;n!+3,\;\ldots ,\;n!+n,}

El primer término es divisible por 2, el segundo término es divisible por 3, y así sucesivamente. Por lo tanto, esta es una secuencia de n − 1 enteros compuestos consecutivos , y debe pertenecer a un intervalo entre primos de longitud al menosnorte{\displaystyle n}De ello se deduce que existen brechas entre números primos que son arbitrariamente grandes, es decir, para cualquier enteronorte{\displaystyle N}, hay un número enterometro{\displaystyle m}congramometro≥norte{\displaystyle g_{m}\geq N}.

Sin embargo, las principales brechas denorte{\displaystyle n}Los números pueden aparecer en números mucho más pequeños quenorte¡{\displaystyle n!}Por ejemplo, la primera brecha de números primos de tamaño mayor que 14 se produce entre los primos 523 y 541, mientras que 15! es el número muchísimo mayor 1307674368000.

La diferencia promedio entre números primos aumenta a medida que aumenta el logaritmo natural de estos primos, y por lo tanto, la razón entre la diferencia de primos y los primos involucrados disminuye (y es asintóticamente cero). Esto es una consecuencia del teorema de los números primos . Desde una perspectiva heurística, esperamos que la probabilidad de que la razón entre la longitud de la diferencia y el logaritmo natural sea mayor o igual a un número positivo fijo sea .k{\displaystyle k}sermi−k{\displaystyle e^{-k}}En consecuencia, la razón puede ser arbitrariamente grande. De hecho, la razón entre la brecha y el número de dígitos de los enteros involucrados aumenta sin límite. Esto es consecuencia de un resultado de Westzynthius. [ 1 ]

En la dirección opuesta, la conjetura de los primos gemelos postula quegramonorte=2{\displaystyle g_{n}=2}para infinitos números enterosnorte{\displaystyle n}.

Resultados numéricos

Por lo general, la proporción gramonorte/(ln⁡pagnorte){\displaystyle g_{n}/(\ln p_{n})}se denomina mérito de la brechagramonorte{\displaystyle g_{n}}. De manera informal, el mérito de una brechagramonorte{\displaystyle g_{n}}puede pensarse como la relación del tamaño de la brecha en comparación con los tamaños promedio de brechas primarias en las proximidades depagnorte{\displaystyle p_{n}}.

La brecha prima más grande conocida con extremos de brecha prima probables identificados tiene longitud16 045 848 , con385 713 primos probables de dígitos y mérito M = 18,067 , encontrados por Andreas Höglund en marzo de 2024. [ 2 ] La mayor brecha de primos conocida con primos probados identificados como extremos de la brecha tiene longitud1 113 106 y mérito 25.90, con18 662 números primos de dígitos encontrados por P. Cami, M. Jansen y JK Andersen. [ 3 ] [ 4 ]

A partir de mayo de 2026 , el mayor valor de mérito conocido y el primero con mérito superior a 40, según lo descubierto por la red Gapcoin , es 41.93878373 con el primo de 87 dígitos 2​9​3​7​0​3​2​3​4​0​6​8​0​2​2​5​9​0​1​5​8​7​2​3​7​6​6​1​0​4​4​1​9​4​6​3​4​2​5​7​0​9​0​7​5​5​7​4​8​1​1​7​6​2​0​9​8​5​8​8​7​9​8​2​1​7​8​9​5​7​2​8​8​5​8​6​7​6​7​2​8​1​4​3​2​2​7 . La diferencia entre este y el siguiente número primo es 8350. [ 5 ] [ 6 ]

La relación de Cramér-Shanks-Granville es la relacióngramonorte/(ln⁡pagnorte)2{\displaystyle g_{n}/(\ln p_{n})^{2}}. [ 5 ] Si descartamos los valores anómalamente altos de la razón para los primos 2, 3 y 7, entonces el mayor valor conocido de esta razón es 0,9206386 para el primo 1693182318746371. En comparación, la brecha descubierta por la red Gapcoin (con mérito 41,9) tiene una razón de Cramér-Shanks-Granville de solo 0,2058791. Otros términos de registro se pueden encontrar en OEIS : A111943  .

Decimos quegramonorte{\displaystyle g_{n}}es una brecha máxima , sigramometro<gramonorte{\displaystyle g_{m}<g_{n}}a pesar demetro<norte{\displaystyle m<n}A partir de mayo de 2026 , la mayor brecha prima máxima conocida tiene una longitud de 1854, hallada por Robert Smith, utilizando el código de Brian Kehrig. Es la 85.ª brecha prima máxima y aparece después del primo 101412319996363309069. [ 8 ] Otros tamaños de brecha récord (máximos) se pueden encontrar en OEIS : A005250  , con los primos correspondientes.pagnorte{\displaystyle p_{n}}en OEIS : A002386  y los valores denorte{\displaystyle n}en OEIS : A005669  . La secuencia de brechas máximas hasta elnorte{\displaystyle n}Se conjetura que el -ésimo primo tiene aproximadamente2ln⁡norte{\displaystyle 2\ln n}términos. [ 9 ]

Resultados adicionales

límites superiores

El postulado de Bertrand , demostrado en 1852, afirma que siempre hay un número primo entrek{\displaystyle k}y2k{\displaystyle 2k}(para todo k ≥ 2), por lo que en particularpagnorte+1<2pagnorte{\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}, lo que significagramonorte<pagnorte{\displaystyle g_{n}<p_{n}}.

El teorema de los números primos , demostrado en 1896, dice que la longitud promedio de la brecha entre un número primopag{\displaystyle p}y el siguiente primo se aproximará asintóticamenteln⁡pag{\displaystyle \ln p}, el logaritmo natural depag{\displaystyle p}para primos suficientemente grandes. La longitud real de la brecha podría ser mucho mayor o menor que esto. Sin embargo, se puede deducir del teorema de los números primos que las brechas se vuelven arbitrariamente más pequeñas en proporción a los primos: el cociente

límitenorte→∞gramonortepagnorte=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}

En otras palabras (por definición de límite ), para cadaε>0{\displaystyle \varepsilon >0}, hay un númeronorte{\displaystyle N}de tal manera que para todosnorte>norte{\displaystyle n>N},

gramonorte<pagnorteε{\displaystyle g_{n}<p_{n}\varepsilon }

Hoheisel (1930) fue el primero en mostrar [ 10 ] una dependencia sublineal; que existe una constanteθ<1{\displaystyle \theta <1}de tal manera que

π(incógnita+incógnitaθ)−π(incógnita)∼incógnitaθregistro⁡incógnita como incógnita→∞,{\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log x}}{\text{ as }}x\to \infty ,}

por lo tanto, demostrando que para suficientemente grandenorte{\displaystyle n},

gramonorte<pagnorteθ{\displaystyle g_{n}<{p_{n}}^{\theta }}

Hoheisel obtuvo el valor posible 32999/33000 paraθ{\displaystyle \theta }. Esto fue mejorado a 249/250 por Heilbronn , [ 11 ] y aθ=3/4+ε{\displaystyle \theta =3/4+\varepsilon }, para cualquierε>0{\displaystyle \varepsilon >0}, por Chudakov . [ 12 ]

Una mejora importante se debe a Ingham , [ 13 ] quien demostró que para alguna constante positiva c ,

siζ(1/2+it)=O(tdo){\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}entoncesπ(incógnita+incógnitaθ)−π(incógnita)∼incógnitaθregistro⁡incógnita{\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log x}}}para cualquierθ>(1+4do)/(2+4do).{\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}

Aquí, O se refiere a la notación O mayúscula , ζ denota la función zeta de Riemann y π la función de conteo de números primos . Sabiendo que cualquier c > 1/6 es admisible, se obtiene que θ puede ser cualquier número mayor que 5/8.

Dado que 5/8+ ε < 2/3, y la distancia entre cubos consecutivos es del orden denorte2/3{\displaystyle n^{2/3}}, se deduce que siempre hay un número primo entre n 3 y ( n + 1) 3 , si n es suficientemente grande. [ 14 ] En 2016, Dudek dio una versión explícita del resultado de Ingham: hay primos entre cubos consecutivos para todosnorte>mimi33.217≈1.01⋅10115809466034000{\displaystyle n>e^{e^{33.217}}\approx 1.01\cdot 10^{115809466034000}}. [ 15 ]

La hipótesis de Lindelöf implicaría que la fórmula de Ingham se cumple para cualquier número positivo c ; pero incluso esto no bastaría para implicar que existe un número primo entre n² y ( n + 1) ² para n suficientemente grande (véase la conjetura de Legendre ). Para verificar esto, se necesitaría un resultado más contundente , como la conjetura de Cramér .

Huxley en 1972 demostró que se puede elegir θ = 7/12 = 0,58 3 . [ 16 ]

Un resultado, debido a Baker, Harman y Pintz en 2001, muestra que θ puede tomarse como 0,525. [ 17 ]

Lo anterior describe los límites de todas las brechas; otra área de interés es el tamaño mínimo de la brecha. La conjetura de los primos gemelos afirma que siempre hay más brechas de tamaño 2, pero sigue sin probarse. En 2005, Daniel Goldston , János Pintz y Cem Yıldırım demostraron que

límite inferiornorte→∞gramonorteregistro⁡pagnorte=0{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}

y 2 años después mejoró esto [ 18 ] a

límite inferiornorte→∞gramonorteregistro⁡pagnorte(registro⁡registro⁡pagnorte)2<∞.{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}

En 2013, Yitang Zhang demostró que

límite inferiornorte→∞gramonorte<7⋅107,{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}

lo que significa que hay infinitas brechas que no superan los 70 millones. [ 19 ] Un esfuerzo colaborativo del Proyecto Polymath para optimizar la cota de Zhang logró reducir la cota a 4680 el 20 de julio de 2013. [ 20 ] En noviembre de 2013, James Maynard introdujo un nuevo refinamiento de la criba GPY , lo que le permitió reducir la cota a 600 y también demostrar que las brechas entre primos separados por m están acotadas para todo m . Es decir, para cualquier m existe una cota Δ m tal que p n + m − p n ≤ Δ m para infinitos n . [ 21 ] Usando las ideas de Maynard, el proyecto Polymath mejoró la cota a 246; [ 20 ] [ 22 ] asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam y su forma generalizada , la cota se ha reducido a 12 y 6, respectivamente. [ 20 ]

límites inferiores

En 1931, Erik Westzynthius demostró que las brechas primas máximas crecen más que logarítmicamente. Es decir, [ 1 ]

límite superiornorte→∞gramonorteregistro⁡pagnorte=∞.{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}

En 1938, Robert Rankin demostró la existencia de una constante c > 0 tal que la desigualdad

gramonorte>do registro⁡norte registro⁡registro⁡norte registro⁡registro⁡registro⁡registro⁡norte(registro⁡registro⁡registro⁡norte)2{\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}

Se cumple para infinitos valores de n , mejorando los resultados de Westzynthius y Paul Erdős . Posteriormente, demostró que se puede tomar cualquier constante c < e γ , donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . El valor de la constante c se mejoró en 1997 a cualquier valor menor que 2 e γ . [ 23 ]

Paul Erdős ofreció un premio de 10 000 dólares por una prueba o refutación de que la constante c en la desigualdad anterior puede tomarse arbitrariamente grande. [ 24 ] Esto fue demostrado como correcto en 2014 por Ford, Green, Konyagin y Tao, e independientemente por James Maynard. [ 25 ] [ 26 ]

El resultado mejoró aún más

gramonorte>do registro⁡norte registro⁡registro⁡norte registro⁡registro⁡registro⁡registro⁡norteregistro⁡registro⁡registro⁡norte{\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}

para infinitos valores de n por Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao. [ 27 ]

En el espíritu del premio original de Erdős, Terence Tao ofreció 10.000 dólares estadounidenses por una demostración de que c puede tomarse arbitrariamente grande en esta desigualdad. [ 28 ]

También se han determinado límites inferiores para cadenas de números primos. [ 29 ]

Conjeturas sobre las brechas entre números primos

Como se describió anteriormente , el mejor límite probado para los tamaños de brecha es g n < p n 0,525 (para n suficientemente grande; no nos preocupamos por 5 − 3 > 3 0,525 o 29 − 23 > 23 0,525 ), pero se observa que incluso las brechas máximas son significativamente más pequeñas que eso, lo que lleva a una plétora de conjeturas no probadas.

El primer grupo plantea la hipótesis de que el exponente se puede reducir a θ = 0,5 .

Tanto la conjetura de Legendre de que siempre existe un primo entre cuadrados perfectos consecutivos como la conjetura de Andrica de que la diferencia de raíces cuadradas de primos consecutivos está acotada por 1 [ 30 ] implican que

gramonorte<2pagnorte.{\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}.}

La conjetura de Oppermann hace la afirmación más fuerte de que, para n suficientemente grande (probablemente n ≥ 31 ),

gramonorte<pagnorte.{\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}

Todas estas afirmaciones siguen sin probarse. Harald Cramér estuvo cerca, demostrando [ 31 ] que la hipótesis de Riemann implica que la brecha g n satisface

gramonorte=O(pagnorteregistro⁡pagnorte),{\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}

utilizando la notación de la gran O. (De hecho, este resultado solo necesita la hipótesis de Lindelöf más débil , si se puede tolerar un exponente infinitesimalmente mayor que 1/2. [ 32 ] )

Dudek también demostró una versión explícita del resultado de Cramer (asumiendo también la hipótesis de Riemann), es decir, para todo n ≥ 2,

gramonorte<4πpagnorteregistro⁡pagnorte{\displaystyle g_{n}<{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}}

función de brecha prima

Como señaló Dudek, para un n suficientemente grande se puede reducir la constante.4/π{\displaystyle 4/\pi }ser cualquier constante mayor que 1.

En el mismo artículo, Cramér conjeturó que las brechas son mucho más pequeñas. En términos generales, la conjetura de Cramér afirma que

gramonorte=O((registro⁡pagnorte)2),{\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right)\!,}

una tasa de crecimiento polilogarítmica más lenta que cualquier exponente θ > 0 .

El modelo de Cramér, bajo el cual formuló la conjetura, era demasiado simplificado (asumiendo que algunos eventos son estadísticamente independientes cuando en realidad son dependientes) y, por lo tanto, no muy preciso (véase la conjetura de Cramér ), pero después de investigaciones adicionales, se encontraron nuevas heurísticas que se convirtieron en una sólida evidencia de que la conjetura es cierta.

Como esto coincide con la tasa de crecimiento observada de las brechas primas, existen varias conjeturas similares. La conjetura de Firoozbakht es ligeramente más fuerte, afirmando que p n 1/ n es una función estrictamente decreciente de n , es decir, para todo n ≥ 1,

(pagnorte+1)1/(norte+1)<(pagnorte)1/norte{\displaystyle (p_{n+1})^{1/(n+1)}<(p_{n})^{1/n}}

Si esta conjetura es verdadera, entonces g n < (log p n ) 2 − log p n − 1 para todo n ≥ 10 . [ 33 ] [ 34 ] Implica una forma fuerte de la conjetura de Cramér, pero es inconsistente con las heurísticas de Granville y Pintz , [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] que sugieren que g n > (2 − ϵ ) e − γ (log p n ) 2 > (1.1229 − ϵ )(log p n ) 2 infinitas veces para cualquier ϵ > 0 , donde γ denota la constante de Euler-Mascheroni .

La conjetura de Polignac afirma que todo número par positivo k aparece como un intervalo primo infinitamente a menudo. El caso k  =  2 corresponde a la conjetura de los primos gemelos . Esta conjetura aún no ha sido probada ni refutada para ningún valor específico de k , pero las mejoras al resultado de Zhang, analizadas anteriormente, demuestran que es cierta para al menos un valor (actualmente desconocido) de k ≤ 246.   

Como una función aritmética

La diferencia g n entre el n- ésimo y el ( n  + 1)-ésimo número primo es un ejemplo de una función aritmética . En este contexto, se suele denotar d n y se denomina función de diferencia prima. [ 30 ] La función no es ni multiplicativa ni aditiva .

Véase también

Referencias

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  32. ↑ Ingham, Albert E. (1937). "Sobre la diferencia entre primos consecutivos" (PDF) . Quarterly Journal of Mathematics . 8 (1). Oxford: 255– 266. Bibcode : 1937QJMat...8..255I . doi : 10.1093/qmath/os-8.1.255 . Archivado (PDF) del original el 5 de diciembre de 2022.
  33. ↑ Sinha, Nilotpal Kanti (2010). "Sobre una nueva propiedad de los números primos que conduce a una generalización de la conjetura de Cramer". arXiv : 1010.1399 [ math.NT ].
  34. ↑ Kourbatov, Alexei (2015). "Límites superiores para brechas de números primos relacionadas con la conjetura de Firoozbakht". Journal of Integer Sequences . 18 (11) 15.11.2. arXiv : 1506.03042 .
  35. ↑ Granville, Andrew (1995). "Harald Cramér y la distribución de los números primos" (PDF) . Scandinavian Actuarial Journal . 1 : 12–28 . CiteSeerX 10.1.1.129.6847 . doi : 10.1080/03461238.1995.10413946 . Archivado (PDF) del original el 23 de septiembre de 2015. Recuperado el 2 de marzo de 2016 . .
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  37. ^ Pintz, János (septiembre de 2007). "Cramér vs. Cramér: sobre el modelo probabilístico de números primos de Cramér" . Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 37 (2): 232– 471. doi : 10.7169/facm/1229619660 .

Lecturas adicionales

  • Soundararajan, Kannan (2007). "Pequeñas brechas entre números primos: el trabajo de Goldston-Pintz-Yıldırım". Bull. Am. Math. Soc . Nueva Serie. 44 (1): 1– 18. arXiv : math/0605696 . doi : 10.1090/ s0273-0979-06-01142-6 . S2CID 119611838. Zbl 1193.11086 .  
  • Mihăilescu, Preda (junio de 2014). "Sobre algunas conjeturas en teoría aditiva de números" (PDF) . Boletín de la EMS (92): 13–16 . doi : 10.4171/NEWS . hdl : 2117/17085 . ISSN 1027-488X . 
  • Thomas R. Nicely, Algunos resultados de la investigación computacional en números primos – Teoría computacional de números . Este sitio web de referencia incluye una lista de todas las brechas de números primos de primera aparición conocidas.
  • Weisstein, Eric W. "Función de diferencia prima" . MathWorld .
  • "Función de diferencia prima" . PlanetMath .
  • El trabajo de Armin Shams, que extiende nuevamente el teorema de Chebyshev sobre la conjetura de Bertrand , no involucra una constante "arbitrariamente grande" como algunos otros resultados publicados.
  • Chris Caldwell , Brechas entre números primos : una introducción elemental
  • Andrew Granville , Números primos en intervalos de longitud limitada ; resumen de los resultados obtenidos hasta la fecha, incluyendo el trabajo de James Maynard de noviembre de 2013.
  • Birke Heeren,Aquí encontrará un documento sobre cómo calcular grandes brechas.