Límite (música)

Para un número impar positivo n , el límite impar n contiene todos los números racionales tales que el mayor número impar que divide al numerador o al denominador no es mayor que n .

En Genesis of a Music , Harry Partch consideró racionales de entonación justa según el tamaño de sus numeradores y denominadores, módulo octavas. ^{[ 3 ]} Dado que las octavas corresponden a factores de 2, la complejidad de cualquier intervalo puede medirse simplemente por el factor impar más grande en su razón.

Cada uno de los números impares , incluidos los que se encuentran por debajo del límite (impar) en una afinación, constituye una identidad . Por ejemplo, las identidades incluidas en la afinación de límite 5 son 1, 3 y 5. Cada número impar representa una nueva altura en la serie armónica y, por lo tanto, puede considerarse una identidad.

C C G C E G B C D E F G ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...

Según Partch: «El número 9, aunque no es primo , es, sin embargo, una identidad en la música, simplemente porque es un número impar». ^{[ 4 ]} Partch define «identidad» como «uno de los correlativos, ' mayor ' o ' menor ', en una tonalidad ; uno de los componentes impares, uno, varios o todos los cuales actúan como polo de la tonalidad». ^{[ 5 ]}

Odentity y udentity son abreviaturas de sobreidentidad e infraidentidad , respectivamente. ^{[ 6 ]} Según el productor de software musical Tonalsoft: "Una udentity es una identidad de una utonalidad ". ^{[ 7 ]}

Para un número primo n , el límite de n primos contiene todos los números racionales que se pueden factorizar usando primos no mayores que n . En otras palabras, es el conjunto de racionales con numerador y denominador ambos n - suaves .

Ajuste de límite p. Dado un número primo p , el subconjunto de${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$que consiste en aquellos números racionales x cuya factorización prima tiene la forma ${\displaystyle x=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{r}^{\alpha _{r}}}$con${\displaystyle p_{1},...,p_{r}\leq p}$forma un subgrupo de (${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+},\cdot }$). ... Decimos que una escala o sistema de afinación utiliza afinación de límite p si todas las relaciones de intervalos entre tonos se encuentran en este subgrupo. ^{[ 8 ]}

A finales de la década de 1970, un nuevo género musical comenzó a tomar forma en la costa oeste de Estados Unidos, conocido como la escuela de gamelán estadounidense . Inspirados por el gamelán indonesio , músicos de California y otros lugares comenzaron a construir sus propios instrumentos de gamelán, a menudo afinándolos en entonación justa. La figura central de este movimiento fue el compositor estadounidense Lou Harrison . A diferencia de Partch, quien solía tomar las escalas directamente de la serie armónica, los compositores del movimiento del gamelán estadounidense tendían a extraer las escalas de la red de entonación justa, de manera similar a como se construyen los bloques de periodicidad de Fokker . Dichas escalas a menudo contienen proporciones con números muy grandes, que, sin embargo, están relacionadas por intervalos simples con otras notas de la escala.

Las afinaciones e intervalos con límite primo suelen denominarse utilizando el término del sistema numérico basado en dicho límite. Por ejemplo, las afinaciones e intervalos con límite 7 se denominan septimales, los de límite 11 se denominan undecimales, y así sucesivamente.