Poder principal

Las potencias primas son potencias de números primos. Toda potencia prima, excepto las potencias de 2 mayores que 4, tiene una raíz primitiva ; por lo tanto, el grupo multiplicativo de los enteros módulo p ⁿ (es decir, el grupo de unidades del anillo Z / p ⁿ Z ) es cíclico . ^{[ 1 ]}

El número de elementos de un cuerpo finito es siempre una potencia prima y, a la inversa, toda potencia prima aparece como el número de elementos en algún cuerpo finito (que es único salvo isomorfismo ). ^{[ 2 ]}

Una propiedad de las potencias primas que se usa frecuentemente en la teoría analítica de números es que el conjunto de potencias primas que no son primas es un conjunto pequeño en el sentido de que la suma infinita de sus recíprocos converge , aunque los primos son un conjunto grande. ^{[ 3 ]}

La función totiente ( φ ) y _las funciones sigma ( σ0 ) y ( σ1 ₎ de una potencia prima se calculan mediante las fórmulas

${\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

Todas las potencias de números primos son números deficientes . Una potencia de número primo p ⁿ es un número casi primo de orden n . Se desconoce si una potencia de número primo p ⁿ puede pertenecer a un par amigo . Si existe tal número, entonces p ⁿ debe ser mayor que 10 ¹⁵⁰⁰ y n debe ser mayor que 1400.