Elemento primitivo (coálgebra)

En álgebra, un elemento primitivo de una coálgebra C (sobre un elemento g ) es un elemento x que satisface

${\displaystyle \mu (x)=x\otimes g+g\otimes x}$

dónde${\displaystyle \mu }$es la comultiplicación y g es un elemento de C que se asigna a la identidad multiplicativa 1 del campo base bajo la counidad ( g se llama de tipo grupo ).

Si C es una biálgebra , es decir, una coálgebra que también es un álgebra (con ciertas condiciones de compatibilidad que se cumplen), entonces normalmente se toma g igual a 1, el elemento neutro multiplicativo de C. Se dice que la biálgebra C es generada primitivamente si está generada por elementos primitivos (como un álgebra).

Si C es un álgebra bi, entonces el conjunto de elementos primitivos forma un álgebra de Lie con el conmutador usual.${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$( conmutador graduado si C es graduado).

Si A es un álgebra de Hopf conexa, graduada y coconmutativa sobre un cuerpo de característica cero, entonces el teorema de Milnor-Moore establece que el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie graduada de elementos primitivos de A es isomorfa a A. (Esto también se cumple bajo requisitos ligeramente más débiles).

• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Primitive_element_in_a_co-algebra