Subálgebra de Borel

En matemáticas, específicamente en teoría de representaciones , un subálgebra de Borel de un álgebra de Lie es un subálgebra resoluble máxima . ^[1] La noción recibe su nombre de Armand Borel . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo , entonces un subálgebra de Borel es el álgebra de Lie de un subgrupo de Borel . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sea el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V sobre los números complejos. Luego, para especificar una subálgebra de Borel de cantidades, se especifica una bandera de V ; dada una bandera , el subespacio es una subálgebra de Borel, ^[2] y, a la inversa, cada subálgebra de Borel es de esa forma por el teorema de Lie . Por lo tanto, las subálgebras de Borel se clasifican por la variedad de bandera de V . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid x(V_{i})\subset V_{i},1\leq i\leq n\}}$

Sea un álgebra de Lie semisimple compleja , una subálgebra de Cartan y R el sistema de raíces asociado a ellas. La elección de una base de R da la noción de raíces positivas. Entonces tiene la descomposición donde . Entonces es la subálgebra de Borel relativa a la configuración anterior. ^[3] (Es resoluble ya que el álgebra derivada es nilpotente. Es resoluble al máximo mediante un teorema de Borel-Morozov sobre la conjugación de subálgebras resolubles. ^[4] ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{\pm }=\sum _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$${\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]}$

Dado un módulo V , un elemento primitivo de V es un vector (distinto de cero) que (1) es un vector de pesos para y que (2) es aniquilado por . Es lo mismo que un vector de pesos (Demostración: si y con y si es una línea, entonces .) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle e\in {\mathfrak {n}}^{+}}$${\displaystyle [h,e]=2e}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}\cdot v}$${\displaystyle 0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v}$

• Subgrupo Borel
• Álgebra de Lie parabólica